$\dim V/ (S_{1}\cap S_{2})$ cuando $S_{1}$ y $S_{2}$ tienen codimensión finita

Question

Ejercicio 13 del libro de Roman "Álgebra lineal avanzada" (página 107).

El autor nos da un espacio vectorial $V$ con $$V=S_{1}\oplus T_{1}=S_{2}\oplus T_{2}$$ y nos pide que demostremos que si $S_{1}$ y $S_{2}$ tienen codimensión finita en $V$ entonces también $\dim V/ (S_{1}\cap S_{2})$ y $$\dim V/ (S_{1}\cap S_{2})\leq \dim T_{1}+\dim T_{2}.$$

Trabajé mucho pero no llegué a ninguna parte. Gracias por su ayuda.

Answer 1

Sea $p_1\colon V \to T_1$ y $p_2\colon V \to T_2$ son las proyecciones que vienen con las sumas directas. ¿Cuáles son los núcleos de estos mapas? Si se define un mapa \[ V \a T_1 \a T_2 \] enviando $x$ a $(p_1(x), p_2(x))$ Entonces, ¿cuál es el núcleo de esto?