¿Existe una distancia $d$ tal que la topología métrica en $\mathbb{R}$ es este conjunto de intervalos simétricos

Question

¿Existe una distancia $d$ tal que la topología métrica en $\mathbb{R}$ es el conjunto de intervalos simétricos, $T(d) = \{(-a,a),[-a,a] | a\in \mathbb{R}\}\cup \mathbb{R}\cup \emptyset$ ?

La definición que tengo para topología métrica es $T(d) = \{U \subset \mathbb{R} : \forall p \in U:\exists \epsilon > 0 :B_{\epsilon}(p)\subset U\}$ .

No creo que exista tal distancia. En tal topología $U$ no vacío, abierto $\implies 0 \in U.$

Estoy buscando una contradicción y tengo la corazonada de que tiene algo que ver con este conjunto.

$[0,0] = \{0\} \in T(D)$ Así que $\exists \epsilon > 0$ st $B_{\epsilon}(0)\subset \{0\}$ pero $0\in B_{\epsilon}(0)$ así que $B_{\epsilon}(0) = \{0\}$ .

Y ahora no tengo ideas.

Answer 1

De hecho, observe que para cada $\varepsilon > 0$ el balón abierto $B_\varepsilon(1)$ contiene $0$ porque todo conjunto abierto no vacío contiene $0$ .

Por lo tanto, $d(0, 1) < \varepsilon$ para todos $\varepsilon > 0$ . Por lo tanto $d(0, 1) = 0$ lo cual es una contradicción.

Answer 2

La razón que has dado, a saber, que para todos los conjuntos abiertos no vacíos $O$ tenemos $0 \in O$ es una forma válida de ver que el espacio no es metrizable:

Supongamos que $d$ existía. Entonces $r= d(1,0) >0$ y la pelota $B(1, r)$ no está vacío (contiene $1$ ) y hace no contienen $0$ (no tenemos $d(1,0) < r$ obviamente) contraria a la observación anterior.