Es $\mu$ ¿una medida de probabilidad única?

Question

Problema

Sea $\mu$ sea una medida sobre $(\mathbb{R}, \mathscr{B}(\mathbb{R})),$ que cumple

$$ \mu([x,\infty)) = \begin{cases} \frac{1}{x+1}, & x>0 \\ 1, & x\leq0 \end{cases}$$

Es $\mu$ una única medida de probabilidad en $(\mathbb{R}, \mathscr{B}(\mathbb{R}))?$

Realmente no tengo un intento cualificado, porque no puedo encontrar ninguna teoría en nuestro libro, y realmente no hay nada cuando busco un ejemplo similar.

Además, ¿qué hace $[x,\infty)$ en el argumento de $\mu([x,\infty))$ ¿Qué quieres decir?

¿Puede alguien guiarme en la dirección correcta?

Answer 1

Encontré algo relacionado: [Demuestre que $\mu((-\infty,x])$ es una medida única](https://math.stackexchange.com/questions/3446717/show-that-mu-infty-x-is-a-unique-measure)

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Parte1 (intuición) - De $\mu$ en las entradas de $[x,\infty)$ podemos obtener $\mu$ 's valores en otras entradas ... con suerte cada conjunto de Borel:

$[x,\infty)$ es un intervalo cerrado comprendido entre $x$ hasta $\infty$ . Sabes Gasai el valor de salida suponiendo que introduces un intervalo cerrado $[x,\infty)$ en $\mu$ . ¿Y si introduces algo que no se parece a $[x,\infty)$ ? ¡Utiliza las propiedades de la medida!

1. Si introduzco $[3,4)$ entonces puedo expresar $[3,4)$ como $[3,4) = [3,\infty) \ \setminus [4,\infty)$ . Entonces $\mu([3,4)) = \mu([3,\infty) \ \setminus [4,\infty)) = \mu([3,\infty)) - \mu([4,\infty)$ por aditividad (¡aditividad regular, no aditividad contable!) de medida.

2. Si introduzco $[3,4]$ entonces puedo expresar $[3,4]$ como $[3,4] = \{4\} \cup [3,4) = \{4\} \cup ( [3,\infty) \ \setminus [4,\infty))$ . Entonces $\mu([3,4]) = \mu([3,4)) + \mu(\{4\})$ .

En cuanto a $\mu(\{4\})$ ugh... Hmmm...ahh uso de la continuidad de la medida. Tenemos

$$\mu([4,4+\frac1n)) = \frac{\frac1n}{4(4+\frac1n)}$$

y

$$\{4\} = \bigcap_{n=1}^{\infty} [4,4+\frac1n)$$

y

$$[4,4+\frac1n) \supseteq [4,4+\frac1{n+1})$$

por lo que la continuidad de medida nos da

$$\mu(\{4\}) = \lim \frac{\frac1n}{4(4+\frac1n)} = \frac0{16} = 0$$

Así que podemos obtener de forma similar $\mu$ de los valores de $(x,\infty)$ , $(-\infty,x)$ , $(-\infty,x]$ , $(a,b)$ y $(a,b]$ soooo I guess we can get $\mu$ en cualquier conjunto de Borel.

Parte2 - Demostrar que es una medida de probabilidad dado que es una medida:

Fácil. Más de 1 manera de hacer esto creo. 1 manera creo que es la continuidad de la medida

$$\mu(\mathbb R) = \mu(-\infty,\infty) $$

$$= \mu(\bigcup_{n=1}^{\infty} [-n,\infty))$$

$$= \lim_{n \to \infty} \mu( [-n,\infty))$$

$$= \lim_{n \to \infty} 1$$

$$= 1$$

Parte3 - Demostrar que es única dado que es una medida de probabilidad:

Hmmm... Sé que hay un lema de unicidad que dice que si las medidas coinciden en un $\pi$ -sistema $\mathscr A$ entonces se ponen de acuerdo sobre el $\sigma$ -álgebra $\sigma(\mathscr A)$ .

De Probability with Martingales, de David Williams:

Creo que lo que tienes que demostrar aquí es si tienes alguna otra medida de probabilidad $\nu$ con la misma fórmula que $\mu$ en $[x,\infty)$ entonces tendrá la misma fórmula que $\mu$ en todos los conjuntos de Borel... ugh...no estoy tan seguro... Creo que una vez que has demostrado que es una medida de probabilidad entonces es una medida de probabilidad única al menos de la forma en que lo hice anteriormente porque puedes obtener el valor de $\mu$ en cualquier conjunto de Borel hmmmmm...

Bueno... $\mathscr B(\mathbb R) = \sigma(\mathscr A)$ con $\mathscr A = \pi(\mathscr R) := \{(-\infty,a]\}_{a \in \mathbb R}$ por lo que basta con obtener la fórmula para $\mu$ en $\pi(\mathscr R)$ es decir, encontrar el valor de $\mu((-\infty,x])$ para cada $x$ y entonces...si por el lema de unicidad esta $\mu$ es única.

• Para $x \le 0$ , $\mu((-\infty,x]) = 0$

• Para $x > 0$ ,

$$\mu((-\infty,x]) = \mu((0,x]) = \mu([0,x)) = \mu([0,\infty)) - \mu([x,\infty)) = 1 - \frac1{1+x} = \frac{x}{1+x}$$