$A=\Big\{f \in C[0,1]: f(x)\neq 0,\forall x \in [0,1]\Big\}$ está abierto en $C[0,1]$

Question

Demuéstralo: El conjunto $$A=\Big\{f \in C[0,1]: f(x)\neq 0,\forall x \in [0,1]\Big\}$$ está abierto en $C[0,1]$ con métrica "sup" mediante definición de conjunto abierto

El autor da el consejo " cómo elegir $r$ con $B(f,r) \subset E$ "a saber $r=\vert f(0) \vert$

Desde el punto de vista geométrico sé $B(f,r) \subset E$ ¿pero cómo demostrarlo matemáticamente?

¡Vale! Empieza con $g \in B(f,r)$ . Entonces $\text{sup}\;\vert f(x)-g(x) \vert<r$ .

Cómo demostrar $g(x) \neq 0$ para todos $x \in [0,1]$ ?

Answer 1

No estoy de acuerdo con la sugerencia de utilizar $r = |f(0)|$ .

En su lugar, primero hay que darse cuenta de que $f(x) > 0$ para todos $x$ o $f(x) < 0$ para todos $x$ por el teorema del valor intermedio. Sin pérdida de generalidad, consideremos $f(x) > 0$ para todos $x$ (sustituyendo $f$ con $-f$ si es necesario).

Por el teorema del valor extremo, $f$ debe alcanzar su mínimo absoluto en algún punto del intervalo. En particular, debe haber algún $x_0 \in [0, 1]$ tal que $0 < f(x_0) \le f(x)$ para todos $x \in [0, 1]$ . Sugiero dejar $r = f(x_0)$ .

Entonces, si $g \in B(f; r)$ entonces $$f(x_0) > \sup_{x \in [0, 1]} |f(x) - g(x)|,$$ y, por tanto, utilizando las definiciones de $x_0$ y el supremum, para todos $x \in [0, 1]$ , $$f(x) > |f(x) - g(x)| \ge f(x) - g(x) \implies g(x) > 0.$$

Answer 2

Toma $f\in A$ , quieres encontrar $\epsilon$ tal que $B(f,\epsilon)\subset A$ . Desde $|f|$ es continua en la compacta $[0,1]$ tiene un mínimo distinto de cero $m$ porque este mínimo se alcanzará y $f$ nunca es cero. Entonces si tomas $\epsilon=\frac{m}{2}$ y $g\in B(f,m)$ , $|g(x)|=|f(x)-(f(x)-g(x))|\geq |f(x)|-|f(x)-g(x)|\geq m-\frac{m}{2}=\frac{m}{2}> 0$ , $\forall x\in [0,1]$ . Entonces $g$ está en $A$ también.