Una función inyectiva diferenciable con inversa lipschitziana

Question

Tengo dificultades con la siguiente pregunta que se me planteó después de estudiar el teorema del mapa inverso.

Sea $U\subseteq\mathbb{R}^{n}$ sea un conjunto abierto y $f:U\to\mathbb{R}^{n}$ sea inyectiva y diferenciable en $U$ asuma también $f\left(U\right)$ es un conjunto abierto y $g:f\left(U\right)\to U$ sea la inversa de $f$ . Demostrar que si $g$ es Lipschitziano entonces es diferenciable.

Supongo que lo principal que me falta es cómo utilizar la condición de que $f(U)$ está abierto.

Le agradeceríamos que nos ayudara.

Answer 1

De hecho, debido a invariancia de dominio si $U\subset\mathbb{R}^n$ está abierto y si $f:U\to\mathbb{R}^n$ es inyectiva y continua, entonces $f(U)$ está abierto.

Dado $x\in U$ demostremos que $g$ es diferenciable en $y=f(x)$ . Desde $f$ es diferenciable, existe $L_x>0$ y $r_x>0$ tal que si $\|x'-x\|\le r_x$ entonces $x'\in U$ y $\|f(x')-y\|\le L_x\|x'-x\|$ . Del mismo modo, puesto que $g$ es Lipschitz, existe $L_y>0$ y $r_y>0$ tal que si $\|y'-y\|\le r_y$ entonces $y'\in f(U)$ y $\|g(y')-x\|\le L\|y'-y\|$ .

Sea $r=\min(r_x, L_x^{-1}r_y)$ . Si $\|x'-x\|\le r$ entonces para $y'=f(x')$ , $\|y'-y\|\le r_y$ y, por tanto $$\|x'-x\|=\|g(y')-x\|\le L_y\|y'-y\|=L_y\|f(x')-y\|.$$ Esto implica que $f'(x)$ la matriz de Jacobi de $f$ en $x$ es invertible, es decir $\det f'(x)\ne 0$ . Entonces es fácil comprobar que $$\limsup_{y'\to y}\frac{\|g(y')-x- f'(x)^{-1}(y'-y)\|}{\|y'-y\|}\le\|f'(x)^{-1}\|\cdot\lim_{x'\to x}\frac{\|f(x)-y- f'(x)(x'-x)\|}{\|x'-x\|}=0,$$ es decir $g$ es diferenciable en $y$ y $g'(y)=f'(x)^{-1}$ .