El más pequeño $n$ para lo cual $19n+1$ y $95n+1$ son cuadrados perfectos

Question

Encontrar el número entero más pequeño posible $n$ para lo cual $19n+1$ y $95n+1$ son ambos cuadrados perfectos.

De alguna manera me las arreglé para demostrar que $n$ es impar pero no he podido encontrar ninguna solución en la que ambos sean cuadrados perfectos.

Answer 1

Supongamos,

$$95n+1 = x^2$$

$$19n+1= y^2$$

Elimine $n$ entre ellos y obtendrá el Ecuación Pell ,

$$x^2-5y^2 = -4$$

Supongo que sabes cómo encontrar todas las soluciones $x,y$ . A continuación, es una cuestión simple para ponerlos a prueba de tal manera que,

$$n = \frac{x^2-1}{95} = \frac{y^2-1}{19}$$

es un número entero. Los más pequeños son $n= 134232,\,920040,\,4481374227696,\, 30715795905552,\dots$ ad infinitum . (No parece haber impar n .)

De forma equivalente, para $m \ge 0$ ,

$$n = \frac{F_{18m+17}^2-1}{19} = 134232,\,4481374227696,\dots$$

$$n = \frac{F_{18m+19}^2-1}{19} = 920040,\,30715795905552,\dots$$

donde $F_m$ es un Número de Fibonacci .