Hallar la suma de las series $(1^2+1)1!+(2^2+1)2!+(3^2+1)3!+...+(n^2+1)n!$ .

Question

Hallar la suma de las series $(1^2+1)1!+(2^2+1)2!+(3^2+1)3!+...+(n^2+1)n!$ He encontrado un método como he mostrado en mi respuesta a continuación. Pero esa forma me tomó 30 minutos para identificar. $T_n=(n^2+1)n!$ = $((n+1)(n+2)-3(n+1)+2)n!$ Por lo tanto sumando todos los términos y después de la cancelación la suma se convierte en $(n+2)!-2(n+1)!$ lo que equivale a $n(n+1)!$ Si alguien tiene mejores ideas, que me las comunique.

Answer 1

$$(n^2+1)n! = (n^2\color{blue}{+n-n}+1)n!= n(n+1)! - (n-1)n!$$

Answer 2

$\bf{My\; Solution}::$ Podemos escribir $$(r^2+1)r! = (r^2+2r+1-r)r!=(r+1)^2r!-r\cdot r!$$

Así que $$(r^2+1)r!=(r+1)\cdot (r+1)!-r\cdot r!.$$

Así que Suma es $\displaystyle = \sum_{r=1}^{n}\left[(r+1)\cdot (r+1)!-r\cdot r!\right] = (n+1)\cdot (n+1)!-1\cdot 1!$

Aquí hemos utilizado la fórmula de la suma telescópica.