Como se ha señalado, la alegación es falsa si $f(x)$ es una potencia perfecta de un polinomio irreducible. Siempre se cumple una dirección.
Demostrar que si $f(x)$ es irreducible entonces la acción es transitiva, se puede utilizar el siguiente resultado como lema:
Teorema. Sea $F$ y $L$ sean campos, y que $\sigma\colon F\to L$ sea un isomorfismo de campo. Sea $g(x)\in F[x]$ sea un polinomio distinto de cero, sea $\sigma g(x)=h(x)\in L[x]$ sea el polinomio correspondiente. Si $K$ es un campo de división para $g(x)$ en $F$ y $M$ es un campo de división de $h(x)$ en $L$ entonces $\sigma$ se extiende a un isomorfismo $\tau\colon K\to M$ tal que $\tau|_{F}=\sigma$ .
Con este teorema en la mano, proceda como sigue: sea $u,v$ sean dos raíces de $f(x)$ en $K$ . Entonces existe un isomorfismo $\sigma\colon F(u)\cong F(v)$ que es la identidad en $F$ y mapas $u$ a $v$ (ya que $F(u)\cong F[x]/(f(x)) \cong F(v)$ ). Ver ahora $K$ como campo de división para $f(x)$ sobre ambos $F(u)$ y $F(v)$ para obtener una ampliación de $\sigma$ a todos los $K$ . Esto nos da un automorfismo de $K$ que fija $K$ y mapas $u$ a $v$ demostrando que $\mathrm{Aut}_F(K)$ actúa de forma transitiva sobre las raíces.
Nótese, sin embargo, que puede ser imposible encontrar un automorfismo que tenga un particular estructura de ciclo en las raíces; por ejemplo, su automorfismo puede permutar las raíces cíclicamente, como en el caso de un campo de división de un polinomio irreducible de grado $3$ con tres raíces reales sobre $\mathbb{Q}$ .
Si $f(x)$ no es irreducible y no una potencia de un polinomio irreducible , dejemos que $g_1(x)$ y $g_2(x)$ sean dos factores irreducibles distintos de $f(x)$ en $F[x]$ ; si $u$ es una raíz de $g_1(x)$ entonces para cada $\sigma\in\mathrm{Aut}_F(K)$ tenemos $\sigma(u)$ es una raíz de $g_1(x)$ por lo que nunca es una raíz de $g_2(x)$ ya que $g_2(x)\neq g_1(x)$ y distintos irreducibles tienen raíces distintas en el campo de división; por tanto, hay raíces de $f(x)$ (a saber, las de $g_2(x)$ ) que no están en el $\mathrm{Aut}_F(K)$ -órbita de $u$ lo que demuestra que la acción no es transitiva.
La demostración del teorema anterior se realiza por inducción en $[K:F]$ . Si $[K:F]=1$ entonces $\tau=\sigma$ funciona. Si $[K:F]\gt 1$ , dejemos que $h(x)$ sea un factor irreducible de $g(x)$ de grado superior a $1$ (que debe existir, de lo contrario $g$ se divide en $F$ ), y que $\sigma h$ sea el factor correspondiente de $\sigma g$ . Sea $u\in K$ sea una raíz de $h$ , dejemos que $v\in M$ sea una raíz de $\sigma h$ . Entonces $\sigma$ se extiende a un isomorfismo $\rho\colon F(u)\cong L(v)$ que mapea $u$ a $v$ ya que $F(u)\cong F[x]/(h(x)) \cong L[x]/(\sigma h(x)) \cong L(v)$ . Entonces, inductivamente, $\rho$ se extiende a un isomorfismo $\tau\colon K\to M$ que restringe a $\rho$ en $F(u)$ y, por tanto, a $\sigma$ en $F$ .
