Descomposición de primos en extensiones no abelianas

Question

Gauß determinó célebremente el carácter cúbico de $2$ en su Disquisitiones : $2$ es un cubo módulo de un número primo $p\equiv1\mod3$ sólo si $p=x^2+27y^2$ para algunos $x,y\in\mathbf{Z}$ . Esto implica que los números primos que se dividen completamente en el $\mathfrak{S}_3$ -extensión $\mathbf{Q}(\root3\of1,\root3\of2)$ de $\mathbf{Q}$ son precisamente los que $\equiv1\pmod3$ y representada por la forma cuadrática $X^2+27Y^2$ .

Esto fue generalizado por Philippe Satgé en 1977 en un artículo cuyo título he tomado prestado . Demuestra, por ejemplo, que los números primos que se dividen completamente en el $\mathfrak{S}_3$ -extensión $\mathbf{Q}(\root3\of1,\root3\of5)$ de $\mathbf{Q}$ son precisamente los que $\equiv1\pmod3$ y representada por una de las formas cuadráticas $$ X^2+XY+169Y^2,\qquad 343X^2-131XY+13Y^2. $$ Creo que resultados similares sobre todos $\mathfrak{S}_3$ -extensiones (de $\mathbf{Q}$ ) puede recuperarse ahora utilizando los casos conocidos de reciprocidad de Langlands, como se ilustra en la misma época mediante Serre para los campos de división de $T^3-T-1$ y $T^3+T-1$ que son las máximas extensiones abelianas no ramificadas de $\mathbf{Q}(\sqrt{-23})$ y $\mathbf{Q}(\sqrt{-31})$ respectivamente, en su Formas modulares de peso uno y representaciones de Galois , pp. 193-268 de Algebraic number fields: L-functions and Galois properties (Proc. Sympos., Univ. Durham, Durham, 1975), Academic Press, Londres, 1977.

Pero el teorema de Satgé es aplicable a extensiones más generales : es aplicable a un $G$ -extensión $K$ de $\mathbf{Q}$ siempre que el grupo finito $G$ contiene un subgrupo normal conmutativo $H\subset G$ tal que

(*) la transferencia ( Verlagerung ) mapa $G/G'\to H$ es trivial, y

(**) la orden de $H$ es impar si el campo $K^H$ es totalmente real de grado $>2$ (sobre $\mathbf{Q}$ ).

Pregunta. ¿Pueden recuperarse estos resultados más generales de Satgé a partir de casos conocidos de reciprocidad de Langlands?

Answer 1

Lejos de poder ni siquiera empezar a responder a la pregunta, vamos a hacer algunas observaciones que quizá arrojen algo de luz sobre la situación.

Resultado de Gauss sobre el carácter cúbico de $2$ se generalizó en el muy infravalorado artículo de Dedekind sobre campos cúbicos puros [ Sobre el número de clases ideales en cúbicos puros cuerpos numéricos ; J. Reine Angew. Math. 121 (1900), 40-123]: ya a principios de la década de 1870 Dedekind había escrito

Sea $k$ denota un entero racional cuya raíz cúbica es irracional. Entonces la ecuación $x^3 = k$ define un campo numérico cúbico puro cuyo discriminante tiene la forma $D = -3g^2$ donde el número entero $g$ puede determinarse fácilmente a partir de $k$ . Considere todos los primos $p$ de la forma $3n+1$ que no dividen $k$ y el módulo del número entero dado $k$ es un residuo cúbico. Con la ayuda de la ley de reciprocidad encontramos entonces el siguiente resultado interesante, que esencialmente ya era conocido por Gauss (y puede extenderse a campos cúbicos generales): hay tres tipos de formas cuadráticas binarias primitivas $ax^2 + bxy + cy^2$ con $D = b^2 - 4ac$ y que representan clases diferentes: las formas primera clase son un grupo cuyas formas representan exactamente los números primos módulo de los cuales $k$ es un residuo cúbico.

No pudo generalizar sus resultados, como había prometido, a los cúbicos generales, aunque conjeturó correctamente que esto sería posible utilizando la teoría de la multiplicación compleja, es decir, la teoría de campo de clases para campos de números complejos cuadráticos.

Dedekind cita también una observación de Gauss, en la que determinaba la carácter cúbico de $5$ utilizando formas cuadráticas binarias (que coincide con el ejemplo de Satgé, salvo que Gauss sólo consideró formas con coeficiente medio par, lo que significa que tiene cuatro formas $(1,0,675)$ , $(25,0,27)$ , $(13,2,52)$ , $(4,2,169)$ donde Satgé puede hacer con una $(1,1,169)$ .

El resultado de Dedekind fue generalizado por Takagi [Sur les corps résolubles algébriquement, C. R. Acad. Paris 171 (1920), 1202-1205]. Takagi presenta el teorema de Dedekind de la siguiente forma:

Sea $D$ denotan el discriminante de un campo numérico cúbico $k$ ; entonces el número de clase de las formas cuadráticas primitivas con discriminante $D$ es múltiplo de $3$ . Un tercio de las clases forma un grupo que puede caracterizarse por la propiedad de que los números primos que no dividen $D$ y para el que $D$ es una residuo cuadrático, y que se divide en tres factores diferentes en $k$ y sólo éstas, están representadas por una forma cuadrática en este grupo.

Luego demuestra su generalización:

Sea $k$ sea un campo soluble de grado primo y $K_0$ el campo cíclico correspondiente. Si las clases ideales en $K_0$ son definidos módulo $f$ el grupo de clase contiene un subgrupo de índice $\ell$ que se caracteriza por la propiedad de que entre los números primos que no dividen el discriminante de $k$ y dividiéndose completamente en $K_0$ exactamente aquellos primos que dividen completamente en $k$ son las normas de los ideales en $K_0$ tumbado en el subgrupo anterior.

Si $k$ es un campo cúbico puro, entonces $K_0$ es el campo de las raíces cúbicas de la unidad, y Takagi recupera el resultado de Dedekind. Para la prueba, Takagi utilizó su teoría del campo de clases.

Casos especiales de este resultado fueron redescubiertos, por ejemplo, por

• D. Liu [ Congruencias de polinomios diedros y formas cuadráticas binarias en su tesis doctoral (Carleton 1992) dirigida por
• Spearman y Williams [ La congruencia cúbica $x^3 + Ax^2 + Bx + C \equiv 0 \pmod p$ y formas cuadráticas binarias , J. London Math. Soc. (2) 46 (1992), no. 3, 397-410], [ La congruencia cúbica $x^3 + Ax^2 + Bx + C \equiv 0 \pmod p$ y formas cuadráticas binarias II , J. London Math. Soc. (2) 64 (2001), nº 2, 273-274].

Ver también

• D. Bernardi [ Residuos de energía , Semin. Delange-Pisot-Poitou 1977/78, Fasc. 2, Exp. nº 28, 12 pp.

Los resultados por

• Weinberger [ El carácter cúbico de las unidades cuadráticas , Univ. Colorado, Boulder 1972, 241-242].

y las más recientes de

• Sol [ Residuos cúbicos y formas cuadráticas binarias , J. Teoría de Números (2006)]

también siguen este patrón (de hecho, hay muchos más artículos que tratan de la descripción de la división de los primos en campos de clases de anillos de campos de números cuadráticos utilizando formas cuadráticas binarias).

Satgé considera la siguiente situación: sea $K$ sea una normal de los racionales con grupo de Galois $G$ , dejemos que $H$ sea un subgrupo abeliano normal, y sea $k$ sea el campo fijo de $H$ . Aplicando la teoría de campos de clases a la extensión abeliana $K/k$ él caracteriza la ley de descomposición en $K$ por representación de los primos en cuestión por las formas normativas adjuntas a $k$ asumiendo ciertas condiciones sobre $H$ . Las formas normativas tienen grado $(G:H)$ ; por tanto, el caso en que $H = 1$ es absolutamente trivial ya que en este caso la división de los primos en $K$ (para primos no ramificados en normal extensiones normales, todo lo que necesitamos saber es el grado de inercia) se describe mediante normas de $K$ .

En general, todos estos fenómenos son "abelianos" y se deducen fácilmente de teoría de campos de clase (abeliana). Pero, por supuesto, es legítimo preguntar cómo encajan en las conjeturas no abelianas de Langlands, ya que ya que se trata de extensiones no abelianas.