¿Por qué se puede particionar un conjunto finito para generar cualquier álgebra sigma sobre ese conjunto pero no se puede hacer lo mismo con un conjunto infito?

Question

Si tienes alguna sigma-álgebra $A$ en un conjunto finito $X$ puede particionar $X$ y utilizar los subconjuntos disjuntos de $X$ para generar $A$ . ¿Por qué no puedes hacer lo mismo si $X$ ¿era infinito?

Estaba pensando, es porque necesitarías incontables subconjuntos disjuntos. ¿Pero no es así como el álgebra de Borel en $\mathbb{R}$ se genera? Hay incontables intervalos abiertos en $\mathbb{R}$ .

Entonces, ¿qué tienen de diferente otras álgebras sigma sobre conjuntos infinitos?

Answer 1

No lo es. todos infinito $X$ no funciona. Por ejemplo, cada $\sigma$ -en $\mathbb Q$ es generado por una partición -- y lo mismo para cualquier contable $X$ .

La razón subyacente es que un $\sigma$ -sólo se supone que es cerrada bajo contable uniones o intersecciones.

Esto tiene dos efectos. En primer lugar, el argumento que produce una partición forma un $\sigma$ -depende de la toma de intersecciones que pueden tener tantos operandos como elementos haya en $X$ . Cuando intentamos aplicarlo a un álgebra sobre $\mathbb R$ obtenemos subconjuntos disjuntos, pero esos subconjuntos disjuntos no están necesariamente en el $\sigma$ -álgebra con la que empezamos.

En segundo lugar, incluso si las particiones que obtenemos son en el $\sigma$ -(como es el caso del álgebra de Borel en $\mathbb R$ ), es posible que no generar eso. En el caso del álgebra de Borel, las particiones son sólo los singletons, pero no se puede generar un conjunto aleatorio de Borel como un contable unión de singletons.

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(Por cierto, el álgebra de Borel no necesita incontables generadores, basta con tomar los intervalos abiertos con extremos racionales).

Answer 2

Puede utilizar subconjuntos disjuntos como generadores en determinados casos, por ejemplo si $X$ es contable, o dependiendo de la estructura del $\sigma-$ álgebra. En general, sin embargo, el problema es que las álgebras sigma se definen sólo a través de contable operaciones en los generadores. He aquí un ejemplo que podría responder con mayor precisión a su pregunta.

Tome la línea real $\mathbb{R}.$ Entonces supongamos que tomamos un conjunto de generadores $\{ \mathcal{A}_i \}_{i \in I}$ que son disjuntos entre sí. Nótese que nos gustaría que el álgebra sigma de Borel contuviera singletons, y nótese que si $$ \mathcal{A} \in \sigma (\mathcal{A_i})$$ con $\mathcal{A} \subset \mathcal{A}_{i_0}$ entonces por la disjunción $\mathcal{A} = \mathcal{A_i}$ ou $\mathcal{A} = \emptyset.$ Así que para que los singletons estén en el álgebra sigma generada, tienen que ser ellos mismos los generadores. Pero el álgebra sigma generada por los singletes es estrictamente menor que la generada por los intervalos abiertos. Véase, por ejemplo cette pregunta.

Obsérvese, por otra parte, que esto no significa que los generadores deban ser incontables. De hecho, el conjunto de todos los intervalos abiertos con radio racional y centro racional forman un conjunto de generadores para el álgebra sigma de Borel.