Tenemos números reales $p,q,r \gt 0$ .
Demuestre entonces que, para todos los números complejos $z\neq 0$ , $$|z-p|+|z-q\omega|+|z-r\omega^{2}|\gt p+q+r$$ Toma, $\omega=e^\frac{i2\pi}{3}$
En realidad, llegué a esta ecuación para demostrar que el único punto de un triángulo $ABC$ (donde todos los ángulos son menores que $\frac {2\pi}{3}$ ) que subtiende ángulos iguales en los tres lados , es decir $\frac {2\pi}{3}$ es el punto de Fermat que minimiza la distancia $PA+PB+PC$ para todos los puntos $P$ en el plano de $ABC$ . Por lo tanto, realmente no tengo la intención de encontrar una solución geométrica a este. Por favor, ¡ayuda!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
David Holden
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Hay una respuesta parcial bastante aburrida, si no he entendido mal (lo que, por desgracia, ocurre con demasiada frecuencia).
sea O el punto $(0,0)$ para que: $$ A = (p,0) \\ B= (-\frac{q}2,\frac{\sqrt{3}}2q) \\ C=(-\frac{r}2,-\frac{\sqrt{3}}2r) $$ y establece $P=(X,Y)$ entonces $$s(X,Y)=PA + PB + PC= \\ \left((X-p)^2 +Y^2\right)^{\frac12}+\left((X+\frac{q}2)^2 +(Y-\frac{\sqrt{3}q}2)^2\right)^{\frac12}+\left((X+\frac{r}2)^2 +(Y+\frac{\sqrt{3}}2r)^2\right)^{\frac12}$$ es sencillo, y sólo ligeramente tedioso, comprobarlo: $$\frac{\partial s}{ \partial x}|_{(0,0)} = 0 \\ \frac{\partial s}{ \partial y}|_{(0,0)} = 0 $$ y tenemos $$s(0,0) = p+q+r $$
