Sobre la prueba de Tamarkin de la cuantización de Etingof-Kazhdan de la bialgebra de Lie

Question

Esta cuestión está motivada por el deseo de comprender mejor la interacción entre los asociadores de Drinfeld, las estructuras algebraicas hasta la homotopía y los resultados relacionados.

Recordemos que un álgebra de Lie es un álgebra de Lie $\mathfrak g$ con una estructura de álgebra de Lie en $\mathfrak g^*$ (cobracket) más algunas condiciones de compatibilidad. Se trata de versiones infinitesimales de estructuras de Poisson compatibles sobre grupo de Lie. Una cuantización de $\mathfrak g$ es un $\mathbb C[[\hbar]]$ deformación del álgebra envolvente de $\mathfrak g$ cuyo coproducto devuelve la cobracket de $\mathfrak g$ en el límite cuasiclásico. El teorema de Etingof-Kazhdan afirma que toda bialgebra de Lie puede cuantizarse, de manera functorial. La demostración de Tamarkin de este resultado se basa en la formalidad de la operada del pequeño disco, y de hecho también lo hace la demostración original en un lenguaje ligeramente distinto.

La prueba original utiliza la afirmación "la elección de un asociador conduce a una cuasi álgebra de Hopf triangular (también conocida como categoría monidal trenzada) a partir de cualquier álgebra de Lie metrizable (es decir, equipada con una forma bilineal simétrica invariante)". En efecto, cualquier álgebra de Lie metrizable conduce a una representación de cierta operada en el álgebra de Lie $\mathfrak t$ y un asociador no es más que un isomorfismo de alguna terminación del álgebra de grupo de la operada trenza pura a $U(\mathfrak t)$ .

Entonces la prueba es la siguiente:

1. Para cualquier bialgebra de Lie $\mathfrak g$ se asocia su doble $\mathfrak d$ que es cuasi triangular y, en particular, metrizable. $\mathfrak d=\mathfrak g\oplus \mathfrak g^*$ como espacio vectorial y el emparejamiento es sólo el canónico.
2. Utilice el enunciado anterior para convertir $U(\mathfrak d)[[\hbar]]$ en una cuasi álgebra de Hopf cuasi triangular
3. Resolver la llamada "ecuación de torsión" que dice que la cuasi álgebra de Hopf $U(\mathfrak d)[[\hbar]]$ puede convertirse en un álgebra de Hopf honesta $U_{\hbar}(\mathfrak d)$ . Un hecho importante es que el producto no se modifica, es decir. $U_{\hbar}(\mathfrak d)$ es isomorfo a $U(\mathfrak d)[[\hbar]]$ como un álgebra.
4. Que tengamos una cuantización cuasi triangular significa a grandes rasgos que obtenemos una versión cuántica del emparejamiento (dada por la matriz R cuántica) que puede utilizarse para identificar una subálgebra de Hopf $U_{\hbar}(\mathfrak g)$ de $U_{\hbar}(\mathfrak d)$ que es la cuantización que buscábamos. También se puede demostrar que $U_{\hbar}(\mathfrak d)$ es el doble cuántico de Drinfeld de $U_{\hbar}(\mathfrak g)$ .

Tenga en cuenta que pensar en $U_{\hbar}(\mathfrak g)$ como subálgebra de $U_{\hbar}(\mathfrak d)$ es un poco engañoso, y que de alguna manera es mejor ver $U(\mathfrak d)$ como espacio auxiliar que actúa sobre $S(\mathfrak g)$ mediante operadores diferenciales. En este sentido, el "giro" conduce realmente a un producto estrella y a un "coproducto estrella" sobre $S(\mathfrak g)$ cuyos coeficientes vienen dados por la acción de algunos operadores diferenciales.

Ahora la prueba de Tamarkin es la siguiente:

1. Cualquier bialgebra de Lie $\mathfrak g$ conduce a una estructura de Gerstenhaber en el álgebra conmutativa libre graduada $H=S(\mathfrak g_{\hbar}[-1])$ donde en $\mathfrak g_{\hbar}$ la cobracket se multiplica por $\hbar$ .
2. La operada de las álgebras de Gerstenhaber es cuasi isomorfa a $BU(\mathfrak t)$ (donde $B$ es la construcción de la barra).
3. La operada del pequeño disco es formal, lo que es aproximadamente un refinamiento de la afirmación anterior sobre la relación entre trenzas y $\mathfrak t$ aplicado a nivel de cadena.
4. La operada de cadena de la operada de disco pequeño es cuasi isomorfa a la operada de álgebras de abrazadera (se trata de una versión de la llamada conjetura de Deligne).
5. Por lo tanto, obtenemos una estructura de tirantes en $H$ que induce una estructura de álgebra de Hopf graduada diferencial en la álgebra de coalición cofree $C(H[1])$ .
6. Por último, según tengo entendido, se puede demostrar que el grupo cohomolgoy 0 del álgebra de Hopf dg obtenida de esta forma es un álgebra de Hopf cuantizante $\mathfrak g$ .

Admito que estoy menos cómodo con esta prueba, aunque puedo entender a grandes rasgos cómo va, excepto tal vez el último paso. De todos modos, me interesa entender cómo se relacionan estas pruebas. Está claro que el hecho clave es bastante similar, aunque diferente: en el primer caso la (deformación trivial de) la categoría de módulos en $\mathfrak d$ es un álgebra sobre la operada $\mathfrak t$ mientras que en el segundo caso construimos un espacio que es un álgebra sobre alguna operada de complejo unida a $\mathfrak t$ a través de algún cuasi-isomorfismo combinatorio. Entonces se aplica el mismo isomorfismo procedente de un asociador pero en mundos diferentes. Así están relacionados Etingof-Kahdan 2 y Tamarkin 3.

Ahora me gustaría entender las relaciones entre los demás pasos. La relación entre el emparejamiento en $\mathfrak d$ y el complejo asociado a $\mathfrak g$ probablemente sea bien conocido, pero no he encontrado ninguna referencia. La segunda parte es probablemente más complicada, y me encantaría saber si existe alguna relación entre la conjetura de Deligne y la afirmación de que "un cuasi álgebra de Hopf obtenida a partir de un asociador de Drinfeld puede convertirse en un álgebra de Hopf". Puesto que la función del doble de Drinfeld es fusionar de algún modo la estructura del álgebra (de Lie) y la del álgebra de carbón (de Lie), es tentador pensar que existe una especie de correspondencia entre las deformaciones del álgebra de carbón de $U(\mathfrak d)$ y deformaciones bialgebraicas de $U(\mathfrak g)$ y la prueba de Etingof-Kahdan demuestran que efectivamente es así, de una forma muy poco obvia. ¿Se puede relacionar este hecho con la conjetura de Deligne?

Editar Acabo de encontrarme con estas muy interesantes notas Por Pavel Safronov que explican la prueba de Tamarkin en la misma línea que la respuesta de Kevin a continuación.

Answer 1

No estoy seguro de poder responder a todo lo que ha preguntado Adrien, pero quizá pueda explicar un poco la parte 6 de la prueba de Tamarkin, y cómo aparece el doble de Drinfeld en la historia de Tamarkin.

En primer lugar, me gustaría explicar una forma ligeramente diferente de plantear la historia de Tamarkin. Se basa en la dualidad de Koszul, y a lo largo de ella hay algunas sutilezas sobre la completitud, la finitud, etc., que siempre aparecen en la dualidad de Koszul. Se pueden tratar, pero me ahorraré los detalles.

Lo más importante que debemos saber es que cualquier $E_2$ produce un álgebra de Hopf. (Esta es la parte 6 de la prueba de Tamarkin, como se explica en la pregunta). Podemos ver esto utilizando la teoría Tanakiana y la dualidad de Koszul. Si $A$ es un álgebra asociativa aumentada, con un mapa $A \rightarrow k$ al campo de tierra, podemos formar un álgebra asociativa dual de Koszul $$A^! = \mathrm{Hom}_k(A,A).$$ Se puede encontrar (en buenas situaciones) una equivalencia $$A^!\mbox{-}\mathrm{mod} = A\mbox{-}\mathrm{mod}.$$ En realidad, una versión precisa de esta afirmación es bastante sutil; véase, por ejemplo, el trabajo de Positselski. La versión coalgebraica de esta afirmación (en la que usamos comodules sobre $k \otimes_A k$ ) funciona mejor.

Supongamos, para simplificar, que $A^!$ tiene cohomología en grado $0$ por lo que no tenemos que preocuparnos por los análogos homotópicos de las estructuras del álgebra de Hopf.

Ahora bien, si $A$ es un $E_2$ álgebra luego módulos izquierdos sobre $A$ forman una categoría monoidal $A\mbox{-}\mathrm{mod}$ (esto se explica en el álgebra superior de Lurie, por ejemplo). Así, $A^!\mbox{-}\mathrm{mod}$ es una categoría monoidal, y se puede comprobar que el functor forgetul $$A^!\mbox{-}\mathrm{mod} \rightarrow \mathrm{dgVect}$$ es monoidal. Por lo tanto, por la teoría de Tannakian $A^!$ tiene una estructura de álgebra de Hopf.

Hay una historia similar para $E_3$ álgebras. Supongamos que $A$ es un $E_3$ que se aumenta como un $E_2$ álgebra. Entonces $A\mbox{-}\mathrm{mod}$ tiene un $E_2$ (es decir, estructura monoidal trenzada), de modo que $A^!\mbox{-}\mathrm{mod}$ es una categoría monoidal trenzada tal que el functor olvido a espacios vectoriales es monoidal. Esto implica, creo, que $A^!$ tiene la estructura de un álgebra de Hopf cuasi triangular.

Sea $P_2$ sea la operada homológica de $E_2$ . Formalidad de la $E_2$ da un isomorfismo entre $E_2$ y $P_2$ y nos permite convertir cualquier $P_2$ álgebra en un $E_2$ álgebra. Las bialgebras de Lie dan lugar a las $P_2$ como sigue. Si $\mathfrak{g}$ es una bialgebra de Lie, entonces $C^\ast(\mathfrak{g})$ es un álgebra conmutativa, con un corchete de Poisson definido sobre los generadores $\mathfrak{g}^\vee$ por la estructura de álgebra de Lie en $\mathfrak{g}$ .

Esta historia (debida a Tamarkin, por supuesto) produce un álgebra de Hopf a partir de cualquier bialgebra de Lie (sujeta a varias advertencias sobre completitud, etc. etc. que es por lo que encontramos una cuantización formal en lugar de una cuantización real)

La pregunta era sobre el doble de Drinfeld. Supongo que funciona de la siguiente manera. El doble de Drinfeld de un álgebra de Hopf es un álgebra de Hopf cuasi triangular. Las álgebras de Hopf cuasi triangulares son duales de Koszul para $E_3$ y bajo la dualidad de Koszul, el doble de Drinfeld debería corresponder a $E_2$ Cohomología de Hochschild. Por el análogo superior de la conjetura de Deligne, la $E_2$ Cohomología de Hochschild de un $E_2$ álgebra es un $E_3$ álgebra.

Algunos aspectos de esta historia sobre $E_2$ Las álgebras y Hopf se explican en detalle en un artículo que tengo previsto publicar pronto en arxiv (que está estrechamente relacionado con el trabajo de Johnson-Freyd y Gwilliam). Por supuesto, la imagen no se debe a mí, sino a Tarmarkin, pero no creo que él demostrara que hay una equivalencia de categorías monoidales en esta historia.