¿Por qué la raíz positiva de un número complejo produce dos soluciones?

Question

Prácticamente acabo de empezar el tema y no entendí este punto.

Para $z=a+bi$
La raíz de $z$ es un número complejo y puede expresarse como $x+yi$

$es decir, \sqrt{z}= x+yi$
$z=(x^{2}-y^{2})+(2xy)i$

Igualando coeficientes:

$a=x^{2}-y^{2}$ y $(2xy)i$

Resolviendo simultáneamente dando $x$ y $y$:

$x=\pm\sqrt{a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}}, y=\frac{b}{2(\pm\sqrt{a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}})}$

Básicamente si $x_{+ve}=\sqrt{a+\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$
Entonces $\sqrt{z} = \pm(x_{+ve}+iy_{+ve})$

Esto simplemente parece incorrecto.

Mi entendimiento de la definición de una raíz era que la raíz positiva de un número debería dar solo una respuesta positiva.
$por ejemplo \sqrt{4} = 2$
Entiendo la idea de que $(\pm2)^{2}=4$ y también entiendo la idea de que $(\pm(x_{+ve}+iy_{+ve}))^{2}=z$

Método dos:

$z=|z|e^{i(\theta +2k\pi)}$ para $k\in\Bbb{Z}$

$\sqrt{z}=\sqrt{|z|}e^{\frac{i(\theta +2k\pi)}{2}}$
$\sqrt{z}=\sqrt{|z|}e^{i(\frac{\theta}{2}+\pi)}$ para $k=2n+1$ o $\sqrt{|z|}e^{i(\frac{\theta}{2})}$ para $k=2n, n\in\Bbb{Z}$
es decir, Dos soluciones

Este método (si lo que he hecho es válido), tiene más sentido que afirmar que la raíz positiva de un número tiene tanto una solución positiva como una negativa.

¿Me falta algo o es ese el final de la historia?

Answer 1

Te recomiendo no utilizar la notación $\sqrt z$, a menos que $z$ sea un número real no negativo.

En cuanto a la definición: una raíz cuadrada de un número complejo $z$ es cualquier número complejo $w$ tal que $w^2=z$. Resulta que todo número complejo excepto $0$ tiene dos raíces cuadradas distintas ($0$ solo tiene una raíz cuadrada, que es $0$), y si $w$ es una de estas raíces, entonces la otra es $-w$. Esto se debe a que si $w$ y $s$ son raíces cuadradas de $z$, entonces $w^2=s^2=z$, pero\begin{align}w^2=s^2&\iff w^2-s^2=0\\&\iff(w-s)(w+s)=0\\&\iff s=\pm w.\end{align}

Así que si has intentado encontrar una raíz cuadrada de $z=a+bi$ (con $a,b\in\Bbb R$) de dos maneras diferentes, en cada enfoque obtuviste dos respuestas simétricas distintas, lo cual es lo que deberías haber obtenido de todas formas.

Answer 2

En $\Bbb R$ hay una interacción entre $<$ y las operaciones aritméticas $+$, $\times$ : Para $a,b,c\in\Bbb R$ tenemos $a y tenemos $(a. No es posible que esto funcione en $\Bbb C$, así que normalmente no definimos ningún $<$ en $\Bbb C$ porque no tendría mucho que ver (si es que tiene algo) con la aritmética.

Escribir $\sqrt z$ cuando $z\in \Bbb C$ pero $z\not\in \Bbb R^+\cup\{0\}$ debe ser evitado. Hay dos soluciones a $x^2=z$ y es ambiguo cuál de ellas debería ser llamada $\sqrt z$.