En Palabra Fibonacci es el límite de la secuencia de palabras que empieza por $0$ y normas satisfactorias $0 \to 01, 1 \to 0$ . Equivalentemente, se obtiene a partir de la recursión $S_n= S_{n-1}S_{n-2}$ en condiciones iniciales $S_0 = 0, S_1 = 01$ . Denotemos esta palabra de Fibonacci como $f_k\in\{0,1\}^{\mathbb Z_+}$ .
Definimos el subdesplazamiento de Fibonacci $\Omega$ como el conjunto de todos los límites de dos lados derechos de la palabra de Fibonacci. Más concretamente, ampliamos nuestra palabra de Fibonacci a $\{0,1\}^{\mathbb Z}$ definiendo $\{f_j\}_{j=-\infty}^0$ arbitrariamente, y definir $(\mathcal Tf)_k=f_{k+1}$ . El subdesplazamiento de Fibonacci $\Omega$ es entonces el conjunto de puntos límite de $\{\mathcal T^n f\}_{n=0}^\infty$ bajo la topología del producto en $\{0,1\}^{\mathbb{Z}}$ .
Es fácil demostrar que la relación entre ceros y unos en la palabra Fibonacci es $\varphi$ la proporción áurea. Equivalentemente, la densidad de unos en la palabra Fibonacci (es decir, la relación entre el número de unos en una subpalabra y la longitud de la subpalabra) tiende a $\frac{1}{\varphi^2}$ . Me gustaría saber si esto es así de manera uniforme. Es decir,
¿Es cierto lo siguiente para a.e. $\omega\in\Omega$ ? G $c\in\mathbb Z$ , $$\lim_{m\to\infty} \sum_{j=c-m}^{c+m}\frac{\omega_j}{2m+1}=\frac{1}{\varphi^2} $$ uniformemente en $c$ .
También sospecho que esto podría ser cierto para cada $\omega\in\Omega$ no sólo a.e.
