Estoy tratando de resolver un conjunto de $J+1$ ecuaciones para variables $x,y_1,\ldots,y_J$ . Las ecuaciones son las siguientes: \begin{align*} \sum_j\sum_i\frac{1}{a_{ij}}\log\left(\frac{a_{ij}}{x+y_j}\right)&=MN\\ \left(N-\sum_i\frac{1}{a_{ij}}\log\left(\frac{a_{ij}}{x+y_j}\right)\right)y_j&=0,\,\,j=1,\ldots,J \end{align*} donde cada $a_{ij}>0$ y $x>0, y_j\ge0$ . Los logaritmos son de base $e$ . Obsérvese que no podemos dividir el segundo conjunto de ecuaciones por $y_j$ porque algunos pueden ser cero. He intentado reordenar las ecuaciones utilizando $\log\left(\frac{a_{ij}}{x+y_j}\right) = \log(a_{ij}) - \log(x+y_j)$ pero no parece ayudar. ¿Alguna idea?
Intento:
Utilizando las propiedades de las funciones logarítmicas y exponenciales, he conseguido escribir las ecuaciones como \begin{align*} \prod_j\prod_i\left(\frac{a_{ij}}{{x+y_j}}\right)^{1/a_{ij}}&=\exp(MN)\\ \prod_i\left(\frac{a_{ij}}{{x+y_j}}\right)^{y_j/a_{ij}}&=\exp(Ny_j),\,\,j=1,\ldots,J \end{align*} Esto parece más bonito, pero no parece llevar a ninguna parte.
Un enfoque alternativo:
Basándose en los comentarios de N74, al definir $z_j = \log(x+y_j)$ alternativamente, podemos escribir las ecuaciones como \begin{align*} \sum_j\sum_i\left[\frac{\log(a_{ij})}{a_{ij}}-\frac{z_j}{a_{ij}}\right]&=MN\\ \left(N-\sum_i\left[\frac{\log(a_{ij})}{a_{ij}}-\frac{z_j}{a_{ij}}\right]\right)(\exp(z_j)-x)&=0 \end{align*} Definición de $A = N-\sum_i\frac{\log(a_{ij})}{a_{ij}}$ , $B = \sum_j\sum_i\frac{\log(a_{ij})}{a_{ij}}-MN$ y $c_j=\sum_i\frac{1}{a_{ij}}>0$ tenemos \begin{align*} \sum_jc_jz_j &= B\\ (A+c_jz_j)(\exp(z_j)-x)&=0,\,\,j=1,\ldots,J \end{align*} Aquí es donde tengo problemas.
