Demuestre que dado un mapa propio, para cada conjunto cerrado F su imagen f(F) es cerrada

Question

Para mi clase de matemáticas, tengo que presentar la siguiente prueba:

Dados dos espacios métricos $(X,d)$ y $(Y,\rho)$ un mapa continuo $f: X \rightarrow Y$ se denomina adecuada si $f^{-1}(K) $ es compacto para cada $K$ . Demuestre que para un mapa propio $f(F)$ es cerrado para cada $F$ .

Para la prueba, no se me permite utilizar que los conjuntos pueden ser "Hausdorff" o "localmente compactos" ya que mi conferencia no cubrió estos conceptos hasta ahora.

¿Tiene idea de cómo demostrarlo? Muchas gracias por su ayuda de antemano

Answer 1

Supongamos que $(y_n)$ es una secuencia en $f[F]$ convergiendo hacia $y \in Y$ . Tenemos que demostrar que $y \in f[F]$ . Escriba a $y_n = f(x_n)$ primero, donde $x_n \in F$ (como $y_n \in f[F]$ ). Entonces $K:=\{y_n : n \in \mathbb{N}\}\cup \{y\}$ es compacta (argumento estándar: prueba directa considerando coberturas abiertas), y por tanto como $f$ es correcto, $f^{-1}[K]$ es compacto en $X$ . Todos los $(x_n)$ están en $f^{-1}[K]$ (como $y_n = f(x_n) \in K$ ) y por tanto por compacidad secuencial existe algún $x \in f^{-1}[K]$ y una subsecuencia $x_{n_k}$ que converge a $x$ . Tenga en cuenta que incluso $x \in F$ como $F$ está cerrado y todos $x_n$ están en $F$ .

Pero entonces la continuidad de $f$ nos dice $y_{n_k} = f(x_{n_k}) \to f(x)$ y también sabemos que $y_{n_k} \to y$ como $y_n \to y$ y, por tanto, también cada subsecuencia. Como los límites de las (sub)secuencias son únicos tenemos que $y = f(x)$ y como $x \in F$ sabemos que $y \in f[F]$ según sea necesario.

Answer 2

Elige una secuencia convergente $\{y_n\}$ en $f(F)$ con límite $y$ . El rango de esta secuencia es compacto, por lo que si elegimos $x_n$ para que $f(x_n) = y_n$ el alcance de la secuencia $\{x_n\}$ es compacto.

¿Puedes hacer el resto?