una cuestión de ámbito local

Question

Sea $K$ sea un campo local con mezcla char, $k$ campo de residuos. Tenemos una secuencia exacta

$0 \longrightarrow I \longrightarrow G_{K} \longrightarrow G_{k} \longrightarrow 0$

Entonces obtenemos una acción de $G_{k}$ sobre la abelización $I^{ab}$ de $I$ . Sea $T$ ser la parte mansa de $I^{ab}$ y $F$ el elemento froboso de $G_{k}$ .

Mi pregunta es

cuál es la acción de $F$ en $T$ ?

Answer 1

En $K$ es un campo local con finito campo de residuos $k$ de cardinalidad $q$ la máxima extensión ramificada $M$ de $K$ contiene la máxima extensión unramificada $N$ de $K$ el grupo $G=\mathrm{Gal}(N|K)$ (resp. $V=\mathrm{Gal}(M|N)$ ) es canónicamente isomorfo a $\hat{\mathbf{Z}}$ (o el grupo de raíces de $1$ de orden primo a $q$ ), y la acción del generador $\sigma\in G$ en $V$ es "elevar al poder $q$ ".

Las fuentes originales de todo esto son el capítulo 16 de la obra de Hasse Teoría de números y un artículo de Albert ( En $p$ -y álgebras de división ratonal, Ann. Math. (2) 41 : 3 (julio de 1940), pp. 674-693). Iwasawa ( Sobre grupos de Galois de campos locales, Trans. Amer. Math. Soc. 80 (1955), 448-469) profundiza en la cuestión. Estos dos artículos pueden consultarse fácilmente en Internet.

Como es posible que las fuentes le resulten un poco difíciles de seguir, hace unos días apareció convenientemente una simplificación y aclaración en arXiv . Los autores parten de cero y elaboran numerosos ejemplos ilustrativos. Espero que disfrute de su lectura.