Cómo hallar la suma de series $\sum_{i=1}^{\infty}\frac{i}{2^i}$ ?

Question

En este momento estoy aprendiendo sobre series de números. En el libro hay un ejercicio en el que tengo que encontrar la suma de : $$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{i}{2^i}$$ Sé que es igual a $2$ . Pero, ¿cómo llegar a ese resultado? ¿Hay alguna forma general de hallar las sumas de series? En los libros que estoy utilizando se habla mucho de series, de su convergencia, etc., pero casi no hay ejemplos.

Answer 1

En este caso concreto:

$$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{i}{2^i}=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{2^i}+\sum_{i=2}^{\infty}\frac{1}{2^i}+\sum_{i=3}^{\infty}\frac{1}{2^i}+\dots=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{2^i}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{2^j}=1\cdot 2$$ .

Pero, por supuesto, es necesario decir algo sobre la convergencia absoluta para manipular la serie de tal manera.

Answer 2

Sea

$$S := \sum_{k=1}^\infty \frac{k}{2^k}.$$

Como todos sus elementos son positivos y la serie es absolutamente convergente, podemos hacer lo siguiente:

$$\begin{align*} S &= \sum_{k=1}^\infty \frac{k}{2^k} = \sum_{k=1}^\infty \frac{k-1}{2^k} + \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{k-1}{2^{k-1}} + 1 = \frac{1}{2} \sum_{k=2}^\infty \frac{k-1}{2^{k-1}} + 1 = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{k}{2^k} + 1 \\ &= \frac{1}{2}S + 1, \end{align*}$$

así que $S = 2$ .

Answer 3

Sea $x=\frac{1}{2}$ . Entonces tenemos $\sum_{n=1}^{\infty}nx^n=x\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}$ . ¿Puedes ver una derivada bajo una suma?