Iba a dar este problema a algunos de mis alumnos de Calc II, pero me he dado cuenta de que ni siquiera puedo hacerlo sin usar algunos trucos que implican series infinitas (que ellos aún no conocen), y ahora quiero ver si alguien tiene alguna idea sobre cómo hacer este problema. Este es uno de los problemas extra de un repaso de capítulo en un libro de Cálculo de Stewart:
Utilice la integración por partes para demostrar que, para todo $x > 0$ , $$0 < \int_0^\infty \frac{\sin(t)}{\ln(1 + x + t)}dt < \frac{2}{\ln(1 + x)}$$
He probado la mayoría de las opciones obvias para $u$ pero ninguno de ellos parece funcionar muy bien. También he intentado alguna manipulación algebraica para convertir la integral en $$-\int\frac{-(1 + x + t)\sin(t)}{(1 + x + t)\ln(1 + x + t)}dt$$
para lo cual puede tomar $dv = \frac{-1}{(1 + x + t)\ln(1 + x + t)}$ y $u = (1 + x + t)\sin(t)$ para obtener la ecuación más agradable
$$\int \frac{\sin(t)}{\ln(1 + x + t)}dt = -\left[\frac{(1 + x + t)\sin(t)}{\ln(1 + x + t)} - \int\frac{\sin(t)}{\ln(1 + x + t)}dt - \int\frac{(1 + x + t)\cos(t)}{\ln(1 + x + t)}dt \right]$$
que te da algunas ecuaciones chulas, pero es menos que útil. Se agradece cualquier aportación. Gracias.
Edición: ¡Gracias a todos por vuestros comentarios! Este problema es de Calculus: Early Transcendentals 6ª edición. Debería ser la pregunta 15 en la página 523. Y el reto particular que estoy teniendo con este problema es encontrar una manera de que un estudiante de Cálculo II se puede esperar para resolver el problema. Si utilizamos algunas herramientas más avanzadas de análisis, este problema no es muy difícil, pero estoy realmente interesado en encontrar el enfoque de "más bajo nivel" para esto. Más específicamente, un enfoque que un estudiante promedio de Cálculo II podría ser capaz de utilizar si se les proporcionó un poco de andamiaje problema.
