¿Es correcta mi (primera) prueba por inducción?

Question

Soy autodidacta y agradecería mucho alguna opinión sobre mi primera prueba de inducción.

Sea $y_1 = 6$ y para cada $n\in \mathbb{N}$ defina $y_{n+1} = (2y_n - 6)/3$ . Utilice la inducción para demostrar que la secuencia satisface $y_n > -6$ .

Primero, probaremos el caso base. Porque nos han dado $y_1 = 6 > -6$ nuestro caso base será $n=2$ :

$y_2 = (2y_1-6)/3 = (2(6)-6)/3 = 2 > -6.$

A continuación, el paso de inducción. Supongamos que $y_{n+1} > -6$ . Demostremos entonces $y_{n+2} > -6$ para algunos $y_{n+1}$ . Lo haremos por contradicción, suponiendo que $y_{n+2} = (2y_{n+1}-6)/3 < -6$ . Observa:

$$(2y_{n+1}-6)/3 < -6,$$ $$2y_{n+1}-6 < -18,$$ $$2y_{n+1} < -12,$$ $$y_{n+1} < -6,$$

lo que contradice nuestra hipótesis inicial de que $y_{n+1} > -6$ . Así, $y_{n+2} > -6$ .

Answer 1

Puede seguir utilizando el caso base $n=1$ a pesar de que se mantiene automáticamente. En general, para las pruebas de inducción es más natural escribir 'suponer para $n$ entonces verdadero para $n+1$ ', aunque en esencia es lo mismo que ha hecho usted. Dicho esto, para que la prueba por contradicción funcione hay que empezar por suponer la exactamente lo contrario de lo que estás tratando de probar, así que asume $y_{n+2}\leq -6$ y listo.

Una buena forma de pensar en las pruebas de inducción es como un "efecto dominó". Comprueba que funciona para la primera ficha ( $n=1$ ), y que si funciona para $n$ entonces debe funcionar para $n+1$ . Entonces debe funcionar para todos $n\geq 1$ por inducción.

Una prueba más limpia : Claramente $y_1>-6$ . Si $y_n>-6$ entonces $y_{n+1}=\frac{1}{3}(2y_n-6)>-6$ .

$y_1>-6$ y ( $y_n>-6\implies y_{n+1}>-6$ ) da que $y_n>-6$ por inducción para todo $n\geq 1$ .