Aplicación de congruencias

Question

Lea atentamente lo siguiente antes de generalizar.

1) Si $(a, p) = 1$ y $p$ es algún primo impar. Entonces el símbolo de Legendre $$\left(\frac ap\right)$$ se define como igual a $1$ si $a$ es un residuo cuadrático de $p$ y es igual a $-1$ si $a$ es un no-residuo cuadrático de $p$ .

2) Para un primo de la forma $5k+2$ la declaración $$5^{\frac{5k+1}{2}}\equiv (5k+1) \pmod{ 5k+2}$$ ¿es cierto o no?

¿Cómo generalizar o justificar las afirmaciones anteriores?

Answer 1

¿Conoce reciprocidad cuadrática ? En este caso, dice que, si $5k+2$ es primo, entonces (como 5 es primo y $5\equiv1\pmod4$ ) 5 es un residuo cuadrático módulo $5k+2$ sólo si $5k+2$ es un residuo cuadrático módulo 5. Pero trabajando módulo 5, $5k+2$ es igual a 2, y (es fácil de ver) 2 no es un residuo cuadrático módulo 5. Trabajando hacia atrás, $5k+2$ no es un residuo cuadrático módulo 5, y 5 no es un residuo cuadrático módulo $5k+2$ . Como señala Berci, esto implica $5^{(5k+1)/2}\equiv-1\equiv5k+1\pmod{5k+2}$ .

Answer 2

Toma $a=5$ y $p=5k+2$ . Entonces queremos demostrar que $a^{\frac{p-1}{2} }=-1$ .
En efecto $a^{\frac{p-1}{2}}=\left( \frac{a}{p}\right)=\left( \frac{5}{p}\right)=\left( \frac{p}{5}\right)=\left(\frac{2}{5}\right)=-1$

Answer 3

Para cualquier $a\not\equiv 0 \pmod p$ por La pequeña de Fermat , $a^{p-1}\equiv 1 \pmod p$ por lo que, dado que $p$ es primo, $a^{\frac{p-1}2}\equiv \pm 1$ . Por cierto, esto equivale exactamente a $\left(\displaystyle\frac ap\right)$ una dirección es fácil de ver: si $a\equiv b^2 \pmod p$ entonces $1\equiv b^{p-1}\equiv a^{\frac{p-1}2}$ y la otra dirección pasa por algún recuento

Por lo tanto, usted afirma que $5$ nunca es un residuo cuadrático mod $p=5k+2$ ... No estoy seguro de que sea cierto.