Volúmenes mediante secciones transversales (integrales)

Question

Tengo una pregunta que dice lo siguiente

"Un sólido se encuentra entre planos perpendiculares a la $x$ -eje en $x=0$ y $x=9$ . Las secciones transversales perpendiculares al eje en el intervalo $0 \leq x \leq 9$ son cuadrados con diagonales que van desde la parábola $y=-2\sqrt{x}$ a $y=2\sqrt{x}$ . Halla el volumen del sólido".

Mi dificultad es la siguiente: Puedo introducir números en una fórmula de integración que conozco y obtener la respuesta correcta, pero parece que no puedo imaginar o dibujar este problema geométricamente, y esto me molesta mucho porque sugiere que no entiendo realmente el concepto en su conjunto. Tuve preguntas como estas en mi examen final de Cálculo I, las pasé por alto y, como resultado, no obtuve la nota que buscaba. Voy a hacer cálculo II y III, así que quiero asegurarme de que tengo estas cosas claras y de que no me suponen un obstáculo.

Soy capaz de conceptualizar y graficar la parte parabólica, pero es la afirmación sobre la diagonal la que no consigo imaginar.

¿Alguien puede indicarme qué me estoy perdiendo?

Muchas gracias.

Answer 1

Sea $S(x)$ área de la sección transversal de $x$ donde $x \in [0,9]$ sabemos que las secciones transversales son cuadrados con diagonal de $(x,2\sqrt{x})$ a $(x,-2\sqrt{x})$ por lo que el área del cuadrado de $x$ es $S(x)=\frac{(2\sqrt{x}+2\sqrt{x})^2}{2}=8x$ . Ahora por el teorema de Fubini:

$V=\int_{0}^{9} S(x) dx=\int_{0}^{9} 8x dx=4*9^2-0^2=324$