¿Es la siguiente una prueba correcta del hecho de que es posible elegir entre una familia de un solo elemento en la teoría de conjuntos ZF (¡sin axioma de elección!)? Si no lo es, ¿cuál es el punto exacto en el que se rompe?
Definición. $(a,b) := \{\{a, b\}, \{b\}\}$
Axiomas.
1. Axioma de emparejamiento. $\forall A \forall B \exists C \forall D[D \in C \iff (D=A \lor D=B)]$
2. Axioma de unión. $\forall A \exists B \forall C [C \in B \iff \exists D (C \in D\ \land D \in A)]$
3. Axioma de extensionalidad. $\forall A \forall B [\forall X (X \in A \iff X \in B) \implies A=B]$
Teorema. Sea $X \ne \emptyset$ y que $F = \{X\}$ sea una familia de un solo elemento formada por $X$ . Existe una función $f: F \rightarrow \bigcup F$ tal que $f(X)$ es un elemento de $X$ .
Prueba.
Tratamos $X$ como se indica.
Partiendo de la base de que $X \ne \emptyset$ tenemos
$$\neg (\forall A [\neg (A \in X)] \ (1)$$
Por las reglas de FOL: $$\exists A (A \in X) \ (2)$$
Por el axioma del emparejamiento: $$\exists \{A, A\} (A \in X) \ (3)$$ Por el axioma de extensionalidad: $$\exists \{A\} (A \in X)\ (4)\ $$ Por el axioma de emparejamiento y la existencia de $X$ : $$\exists \{X\}\ (5)$$ Por el axioma del emparejamiento, la existencia de $X$ y (2): $$\exists (A \in X) \exists \{ X, A \}\ (6)$$ Por el axioma de emparejamiento, (5) y (6) $$\exists (A \in X) \exists \{\{X\}, \{X, A\}\} \ (7)$$ Por la definición de par ordenado: $$\exists (A \in X) \exists \{(X, A) \}\ (8)$$ Ahora, el conjunto ${ (X, A) }$ es exactamente la función deseada.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
¡Que bien! Cuatro observaciones.
- Creo que te has equivocado en la definición de par ordenado: has utilizado $(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$ al final de su prueba.
- (4) se deduce ya del axioma de emparejamiento.
- En realidad no has utilizado (3) ni (4), así que puedes omitirlas.
- Para ser totalmente precisos, $\{(X,A)\}$ como en (8) es la función deseada, no $(X,A)$ .
