Demostrando que $\beta \alpha \beta^{-1}$ y $\alpha$ tanto impar o incluso

Question

Pregunta: Que $\alpha$ y $\beta$ pertenecen a $S_{n}$ . Demostrar que $\beta \alpha \beta^{-1}$ y $\alpha$ son ambos impar o par.

$\alpha \alpha ^{-1} =\varepsilon =\beta^{-1} \beta $ donde $\varepsilon$ es una permutación par.

Sea $\alpha = \sigma _{1}\cdot \cdot \cdot \sigma_{s}$ , $\beta = \theta _{1}\cdot \cdot \cdot \theta_{t}$

Observa: $\varepsilon =\sigma _{1}\cdot \cdot \cdot \sigma_{s} \theta _{1}\cdot \cdot \cdot \theta_{t}$

Así, s + t es par implica que tanto s como t son Impares o pares.

$\beta \alpha \beta^{-1}$ tiene $\left ( 2t + s \right )$ 2 ciclos.

Un detalle crucial podría estar impidiéndome completar esta prueba.

Se agradece cualquier pista.

Answer 1

Tenga en cuenta que si:

$\alpha = \sigma_1\sigma_2\cdots\sigma_k$

eso:

$\beta\alpha\beta^{-1} = (\beta\sigma_1\beta^{-1})(\beta\sigma_2\beta^{-1})\cdots(\beta\sigma_k\beta^{-1})$ .

Ahora bien, si cada $\sigma_i$ para $i = 1,\dots,k$ es una transposición, mostraremos cada $\beta\sigma_i\beta^{-1}$ también es una transposición.

Supongamos que $\sigma_i = (a\ b)$ . Denotemos:

$c = \beta(a)$ y $d = \beta(b)$ de modo que $\beta^{-1}(c) = a$ y $\beta^{-1}(d) = b$ .

Si $m \not\in \{c,d\}$ entonces $\beta^{-1}(m) \not\in \{a,b\}$ (porque $\beta,\beta^{-1}$ son biyectivas), y por tanto

$\sigma_i\beta^{-1}(m) = \sigma_i(\beta^{-1}(m)) = \beta^{-1}(m)$ ya que $\sigma_i$ sólo afecta a $a$ y $b$ .

Por lo tanto, $\beta\sigma_i\beta^{-1}(m) = \beta(\sigma_i(\beta^{-1}(m))) = \beta(\beta^{-1}(m)) = m$ .

Si $m = c$ tenemos: $\beta\sigma_i\beta^{-1}(c) = \beta(\sigma_i(\beta^{-1}(c))) = \beta(\sigma_i(a)) = \beta(b) = d$ ,

y si $m = d$ tenemos: $\beta\sigma_i\beta^{-1}(d) = \beta(\sigma_i(\beta^{-1}(d))) = \beta(\sigma_i(b)) = \beta(a) = c$ .

Así que.., $\beta\sigma_i\beta^{-1} = (c\ d)$ .

Así, si $\alpha$ es un producto de $k$ transposiciones, $\beta\alpha\beta^{-1}$ es igualmente, si $k$ ser par o impar.

Answer 2

Consideremos el siguiente homomorfismo: $f:S_n \to \{-1,1\}$ dada por

$$f(A_n)=1 \, \,, f(S_n\backslash A_n)=-1.$$

Hay que comprobar que se trata efectivamente de un homomorfismo, y que se denota típicamente $\mathrm{Sgn}$ . Si se comprueba que es un homomorfismo, se puede ver que su núcleo es exactamente $A_n$ Así que $A_n$ es un subgrupo normal, lo que significa que $\sigma A_n \sigma^{-1}=A_n$ .

editar: Sin uso explícito de homomorfismos, se puede utilizar el hecho de que la descomposición en transposiciones es no único, pero su paridad sí lo es. Por lo tanto, podemos ver que si $\sigma:=\sigma_1\dots \sigma_n$ donde $\sigma_i$ son transposiciones y $\tau:=\tau_1\dots \tau_k$ donde $\tau_j$ son transposiciones, entonces $\sigma \tau =(\sigma_1\cdots\sigma_n)(\tau_1 \cdots \tau_k)$ que tiene cierta paridad independiente de su descomposición. Puedes usar esto para terminar el problema ,y mirar aquí para profundizar en el tema.

Answer 3

He aquí la prueba más sencilla. Tomemos la función signo

$$\mbox{sgn}:S_n\to\{-1,1\}$$ $$\mbox{sgn}(a_1\cdots a_n)=(-1)^n\mbox{ for } a_i=\mbox{ transpositions}$$

Se puede demostrar que se trata de una función bien definida y que es un homomorfismo de grupo (con multiplicación entera en el lado derecho), es decir.

$$\mbox{sgn}(ab)=\mbox{sgn}(a)\mbox{sgn}(b)$$

En particular $\mbox{sgn}(a^{-1})=\mbox{sgn}(a)^{-1}$ la propiedad simple de cualquier homomorfismo de grupo.

Por lo tanto

$$\mbox{sgn}(\beta\alpha\beta^{-1})=\mbox{sgn}(\beta)\mbox{sgn}(\alpha)\mbox{sgn}(\beta)^{-1}=\mbox{sgn}(\beta)\mbox{sgn}(\beta)^{-1}\mbox{sgn}(\alpha)=\mbox{sgn}(\alpha)$$

La segunda igualdad tiene sentido, porque la multiplicación en $\{-1,1\}$ es conmutativa.