¿Cuál es la ecuación de la suma de fuerzas en el espaciotiempo curvo?

Question

He estado pensando en la ecuación de la suma de fuerzas y en el hecho de que la gravedad no es realmente una fuerza. Entonces, ¿cuál es la forma correcta de pensar en esta ecuación cuando se trata de objetos en un campo gravitatorio? Mi pensamiento es el siguiente:

La ecuación de la suma de fuerzas para el espaciotiempo plano (Lorentziano) es: $$\sum_i F=ma$$ Dónde $\sum_i F$ es la suma de las fuerzas y $a$ es la aceleración debida a la suma (desequilibrio) de fuerzas. Entonces, ¿cuál es la forma correcta de esto para el espaciotiempo curvado positivamente? ¿Es correcto pensarlo así? $$\sum_i F=m(a-A)$$ Supongamos que el desequilibrio de fuerzas se debiera a la atracción de un protón por un electrón a cierta distancia en un campo gravitatorio. $\sum_i F$ representaría la fuerza electromagnética real entre las partículas y $A$ sería la aceleración de la curvatura (suponiendo que la curvatura fuera constante). Lo mismo ocurriría con el espaciotiempo curvado negativamente.

Entonces, ¿es apropiado pensar en esto: $$\sum_i F=m(a+A)$$ ¿Como la forma propia de la ecuación de la Suma de Fuerzas en un espaciotiempo curvado negativamente?

Answer 1

La ecuación manifiestamente covariante es $\Sigma F^{\mu}=D_{\tau}P^{\mu}$ donde $F^{\mu}$ es la fuerza cuatro, $D_{\tau}$ es la derivada covariante, y $P^{\mu}$ es el cuádruple impulso.

La curvatura es un tensor de rango cuatro, por lo que no puede describirse simplemente como positiva o negativa. Sin embargo, si se desea incluir la gravedad o las fuerzas ficticias, puede hacerse escribiendo la expresión anterior en términos de los símbolos de Christoffel: $\Sigma F^{\mu}= \frac{d}{d\tau}P^{\mu} + \Gamma^{\mu}{}_{\nu\eta}U^{\nu}P^{\eta}$