$x\in U\implies x\in (1-\delta)U$

Question

Sea $X$ sea una topológica $\mathbb{R}$ -espacio vectorial. Quiero demostrar que si $U$ está abierto y $x\in U$ entonces existe un $\delta>0$ tal que $x\in (1-\delta)U$ . Creo que tiene algo que ver con la continuidad de la multiplicación escalar $\mathbb{R}\times X\to X$ . Desde $x=1\cdot x$ Sé que por la continuidad de esta multiplicación escalar existe una vecindad $V$ de $x$ y $(1-\delta,1+\delta)$ de $1$ tal que $(1-\delta,1+\delta)V\subset U$ pero no estoy seguro de cómo continuar.

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Por el razonamiento anterior, existe $\epsilon>0$ tal que $(1-\epsilon,1+\epsilon)V\subset U$ por lo que existe $\eta>1$ tal que $\eta x\in U$ entonces toma $\delta:=\frac{\eta-1}{\eta}>0$ entonces $\frac{1}{1-\delta}x=\eta x\in U$ así que $x\in (1-\delta)U$ .

Answer 1

$(1+\frac 1 n )x \to (1)(x)=x$ . Por lo tanto, existe $n_0$ tal que $(1+\frac 1 {n_0} )x \in U$ . Es decir $x \in (1-\delta )U$ donde $\delta =\frac 1 {n_0+1}$ .

Answer 2

Si la multiplicación escalar se denota por $s: \Bbb R \times X \to X$ vemos que $s((1,x)=1 \in U$ por lo que existe un producto básico de vecindad $(1-\delta,1+\delta) \times V$ de $(1,x)$ para que $s[(1-\delta,1+\delta) \times V ] \subseteq U$ por continuidad puntual. Tomemos que $V$ y $\delta$ .