¿Por qué la deformación en "zig-zag" del peine no se retrae sobre un punto, a pesar de ser contractible?

Question

Estoy empezando a leer el libro de Hatcher sobre Topología Algebraica, y estoy un poco atascado con el ejercicio 6(c) del capítulo $0$ . Desgraciadamente se trata de una imagen, por lo que no tiene mucho sentido que la repita aquí, pero lo haré de todos modos (tal vez sirva de ayuda).

Sea $Z$ sea el subespacio en zigzag de $Y$ homeomorfo de $\mathbb{R}$ indicado por la línea más gruesa de la imagen: Demostrar que existe una retracción de la deformación en el sentido débil de $Y$ en $Z$ pero no una verdadera retracción de la deformación".

Ahora la definición de retracción por deformación y retracción por deformación débil es la siguiente:

Decimos que $f: X \to X$ es una retracción de deformación de un espacio $X$ en un subespacio $A \subset X$ si existe una familia de mapas $f_t : X \to X$ con $t \in [0,1]$ tal que $f_0 = \mathbb{1}$ (la identidad) y $f_1 (X) = A$ y también $f_t$ se limita a la identidad en $A$ para cada $t$ .

Una retracción por deformación débil es casi lo mismo, sólo que ahora relajamos las condiciones $f_1(X) = A$ a $f_1 \subset A$ y, para cada $t \in [0,1]$ exigimos que $f_t(A) \subset A$ .

Por lo tanto, en la medida en que entiendo la pregunta y los conceptos implicados, necesito demostrar que básicamente no se puede construir ningún mapa tal que la línea en zigzag en negrita se mantenga mientras que las líneas finas se retraen hacia la línea en negrita en un intervalo de tiempo finito. $0 \leq t \leq 1$ . Sin embargo, debería poder demostrar que puedo tirar de las líneas finas continuamente hacia la línea gruesa, siempre que se me permita mover puntos en la línea en zigzag ¿es correcto?

Ahora, el problema es que no veo por qué no podría hacer lo primero, dado que podría encontrar un repliegue de deformación débil. ¡Cualquier ayuda sería genial!

Answer 1

Pista: $Z$ siendo homeomorfo a $\mathbb{R}$ La deformación se retrae hasta un punto. Las composiciones de retracciones de deformación son retracciones de deformación (composición en el sentido de hacer la primera retracción de deformación para $0\leq t\leq \tfrac{1}{2}$ y haciendo lo segundo para $\frac{1}{2}\leq t\leq 1$ ). Por lo tanto, si $Y$ deformación se retrae a $Z$ también debe retraerse por deformación hasta un punto. ¿Ves por qué esto es imposible? El argumento utiliza el Problema 5 de la misma sección. Los detalles se encuentran en un cuadro de spoiler a continuación (ponga el cursor sobre él para revelar).

Según el problema 5, cualquier vecindario $U$ de dicho punto tendría que contener un conjunto abierto $V$ cuya inclusión $i:V\hookrightarrow U$ es nulo-homotópico; sin embargo, esto es imposible porque cualquier conjunto abierto $V$ se encontrará con partes de $U$ .

Answer 2

El siguiente argumento utiliza la compacidad de $I$ de forma distinta a la utilizada en el "lema" del problema 0.5 del libro.

Para demostrar que todo el espacio $Y$ no puede deformarse retraerse a cualquier punto $x\in Y$ consideremos una secuencia de puntos $x_{n}\rightarrow x,$ con cada punto $x_{n}$ estar en una única hebra distinta (se supone que los puntos rojos de la figura representan los puntos de la secuencia $x_{n}$ ).

Si $Y$ deformación se retrae a $x\in Y$ existe un camino continuo desde $x_{n}$ a $x$ para cada $n\geq 0$ . Cada uno de estos caminos tiene que pasar por el punto $B$ al menos una vez. (si quita el punto $B$ de $Y$ entonces $x_{n}$ y $x$ se encuentran en dos componentes de trayectoria distintas, por lo que no puede existir ninguna trayectoria entre los dos puntos que evite $B$ ).

Dado $n$ considera el "tiempo $t_{n}$ cuando $x_{n}$ se asigna primero al punto $B$ . Consideremos entonces la secuencia $(x_{n},t_{n})\in Y\times I$ . Porque $I$ es secuencialmente compacta, tenemos una subsecuencia convergente $t_{n_{i}}\rightarrow t\in I$ . Entonces $(x_{n_{i}},t_{n_{i}})\rightarrow (x,t)$ . Sea $F:Y\times I\rightarrow Y$ sea el mapa continuo que da la retracción de la deformación. Entonces el lema de la secuencia implica $F(x_{n_{i}},t_{n_{i}})\rightarrow F(x,t)$ . Se trata de una contradicción, ya que $F(x_{n_{i}},t_{n_{i}})=B \ \forall n_{i}\geq 0$ tal como se ha construido, y $F(x,t)=x$ porque es una retracción de deformación.

Un argumento similar puede aplicarse a los puntos $z\in Z$ , para demostrar tanto los hechos que no hay def. retracción de $Y$ a $Z$ ni uno de $Y$ a $z$ .