¿Se conoce la línea 4 del término E_2 de la secuencia espectral clásica de Adams?

Question

En otras palabras:

¿Qué es la $\mathrm{Ext}_{\mathcal{A}}^{4,t}(\mathbb{Z}/2,\mathbb{Z}/2)$ ?

Si no se conoce la línea 4, ¿cuánto se sabe de ella?

Toma, $\mathcal{A}$ es el álgebra de Steenrod 2-primaria, $4$ es el grado homológico correspondiente a la filtración de Adams, y $t$ es el grado de clasificación interna. Estos $\mathrm{Ext}$ forman la cuarta fila de la secuencia espectral clásica de Adams $E_2 = \mathrm{Ext}_{\mathcal{A}}^{s,t}(\mathbb{Z}/2,\mathbb{Z}/2)$ convergente a la terminación 2-ádica de la $(t-s)^{\mathrm{th}}$ grupo de homotopía estable de la esfera.

Para contextualizar,

• la línea 1 es generada por las clases $h_i$ , $i \geq 0$ , ( $\mathrm{deg}\: h_i = (1,2^i)$ ),
• la línea 2 es generada por las clases de productos $h_i h_j$ con arreglo a las relaciones $h_i h_{i+1} = 0$ y $h_i h_j = h_j h_i$ ,

• la línea 3 está generada por dos conjuntos de clases,

  1. las clases de productos $h_i h_j h_k$ sujeto a las relaciones implícitas en $h_i h_{i+2}^2 = 0$ , $h_{i+1}^3 = h_i^2 h_{i+2}$ , $h_i h_{i+1} = 0$ y $h_i h_j = h_j h_i$ ,
  2. los productos Massey $\langle h_{i+1},h_i,h_{i+2}^2 \rangle$ .

Answer 1

La línea 4 está determinada por Wen-Hsiung Lin en " $Ext_A^{4,*}({\bf Z}/2,{\bf Z}/2) $ y $Ext_A^{5,*}({\bf Z}/2,{\bf Z}/2) $ ", Topology and its Applications (2008) vol 155 no.5 pp 459-496.

Da una base para los elementos indecomponibles en $Ext_A^{4,*}$ y generadores y relaciones para el cociente de $Ext_A^{s,*} $ para $s \le 4$ por los indecomponibles de $Ext_A^{4,*}

Answer 2

Esta vieja pregunta me llamó la atención mientras miraba otra pregunta. Vale la pena mencionar que s= 5 es conocido y los descomponibles en s=6 también, aunque esto es inédito.

Tai-Wei Chen, Determinación de $Ext^{5,∗}(Z/2,Z/2)$ , Topology Appl. 158 (2011), no. 5, 660-A689, DOI 10.1016/j.topol.2011.01.002.

Tai-Wei Chen, La estructura de los elementos descomponibles en $Ext^{6,∗}(Z/2,Z/2)$ (2012) preprint.