¿Son las TQFT totalmente extendidas teorías de cohomología generalizada?

Question

Perdone la ingenuidad de esta pregunta. Cualquiera que sea $n$ -se espera que el ejemplo básico de espacio vectorial totalmente extendido sea el siguiente $n$ -tqft es un funtor simétrico monoidal $Cob_n\to n$ -Vect. Ahora, cualquier $n$ -es exactamente un espacio vectorial, se espera que $(n-1)$ -Vecto a ser el espacio de bucle basado de $n$ -Vect. Esto sugiere que el $n$ -categorías de $n$ -los espacios vectoriales se organizan en un espectro hipotético Vect y que los invariantes tqft que uno calcula son en realidad clases de cohomología para la cohomología generalizada correspondiente. Por ejemplo, el hecho de que un tqft totalmente extendido esté completamente determinado por su valor en un punto sería, desde esta perspectiva, un análogo de Mayer-Vietoris. Asimismo, las construcciones combinatorias del modelo de Dijkgraaf-Witten serían un análogo de las operaciones en cohomología simplicial. Así que parece que hay algún sinsentido abstracto general que apoya el punto de vista anterior.

Pregunta: ¿hay referencias que aborden/formalicen/desarrollen este punto de vista?

Answer 1

Un tqft completamente extendido no es del todo una teoría de homología generalizada... Pero casi. Puedes encontrar una referencia preliminar aquí (notas de una charla de Hiro Tannaka en el taller mit Talbot): http://math.mit.edu/conferences/talbot/2012/notes/14_Tanaka_FactorizationHomology(hiro).pdf Las afirmaciones concretas que pueden interesarle son los teoremas 2.16 y 2.20.

(comentario al margen: merece la pena leer las notas de todo el taller: http://math.mit.edu/conferences/talbot/2012/notes/talbot_2012_notes(claudia).pdf ).

EDIT : el trabajo anunciado en la charla anterior ya está parcialmente disponible en la página web de John Francis: http://www.math.northwestern.edu/~jnkf/writ/ (véase "Homología de factorización de las variedades topológicas" y "Variedades singulares estructuradas y homología de factorización").

Answer 2

Si te refieres a "cohomología generalizada" como en "todo menos el axioma de dimensión", entonces no. Esos animales son functores aditivos, mientras que los de tqft son multiplicativos.