Proyección espectral y punto aislado del espectro

Question

Sea $u\in B(H)$ sea un elemento normal con resolución espectral de la identidad $E$ y $\lambda$ sea un punto aislado del espectro $u$ . Demuestre que $E(\lambda)H = \ker(u-\lambda)$ .

Puedo demostrar que $E(\lambda)H \subset \ker(u-\lambda)$ , pero no tengo ninguna idea para mostrar $\ker(u-\lambda)\subset E( \lambda)H $ . Por favor, dame una pista. Gracias de antemano.

Answer 1

Empezando por el comentario, $$ E(S)\left(\int f(\mu)dE(\mu)\right)=\left(\int f(\mu)dE(\mu)\right) E(S)=\int_{S}f(\mu)dE(\mu). $$ Sea $f(\mu)=\mu-\lambda$ y que $S$ sea el conjunto único $\{\lambda\}$ . Entonces la segunda igualdad da $$ (u-\lambda I)E\{\lambda\} = 0. $$ Así que, como dedujiste, $E\{\lambda\}H \subseteq \mbox{ker}(u-\lambda I)$ .

A la inversa, supongamos que $(u-\lambda I)x=0$ . Para demostrar que $x \in E\{\lambda\}H$ , dejemos que $S_{\epsilon} = \{ \mu : |\mu-\lambda| \ge \epsilon \}$ . Entonces $$ \begin{align} \epsilon^{2}\|E(S_{\epsilon})x\|^{2} & \le \int_{S_{\epsilon}}|\mu-\lambda|^{2}d\|E(\mu)x\|^{2} \\ & = \left\|\int_{S_{\epsilon}}(\mu-\lambda)dE(\mu)x\right\|^{2} \\ & = \left\|E(S_{\epsilon})\int(\mu-\lambda)dE(\mu)x\right\|^{2} \\ & = \|E(S_{\epsilon})(u-\lambda I)x\|^{2} = 0. \end{align} $$ Por lo tanto $E(S_{\epsilon})x = 0$ para todos $\epsilon > 0$ . De ello se deduce que $$ E(\mathbb{C}\setminus\{\lambda\})x = 0. $$ Por lo tanto, si $x \in \mbox{ker}(u-\lambda I)$ , $$ x = E(\mathbb{C}\setminus\{\lambda\})x+E\{\lambda\}x = E\{\lambda\} x \in E\{\lambda\} H \\ \implies \mbox{ker}(u-\lambda I) \subseteq E\{\lambda\}H. $$