Hay un post anterior que vi en mayo que parece que abordaba una ligera variación a esta pregunta, pero preguntaré de todos modos para que quede claro.
Si tengo un conjunto $S \subset \Bbb R$ (me centraré primero en la recta real y luego argumentaré que la demostración es válida para todo el espacio n) y cada punto $p \in S$ está aislado, entonces ¿cómo se demuestra que S es a lo sumo contable? Permítanme mostrar lo que he hecho hasta ahora.
Si todos los puntos están aislados, entonces para cada $p \in S$ , p no es un punto límite de S. Esto significa que para cada punto p, $\exists$ alguna bola abierta de p $B_r(p)$ sin $q \neq p$ tal que $q \in S$ . Si S es finito, entonces es claramente a lo sumo contable, simplemente por la definición.
Si S es infinito, podemos separarlo en sus partes racional e irracional. Sea I el conjunto de $p \in S$ donde p es irracional. Y si I es finito, entonces I es claramente a lo sumo contable. Pero ahora supongamos que I es infinito. Porque $\Bbb Q$ es denso en $\Bbb R$ , $\exists$ 2 números racionales a < b tales que $(a, b) \cap S = \{p\}$ . Así que para cada 2 racionales a y b, existe un conjunto abierto con sólo p. Porque $\Bbb Q$ es contable, I es contable.
Sea A el conjunto $q\in S$ donde $q \in \Bbb Q$ . Si A es finito, es claramente como máximo contable. Si A es infinito, entonces debe ser contable porque el conjunto de $\Bbb Q$ es contable.
Por lo tanto, S es a lo sumo contable. Y si es como máximo contable en 1 dimensión, se deduce por inducción que es como máximo contable en n dimensiones. ¿Alguna mejora o sugerencia?
Gracias
