Flujo inestable e incompresible

Question

En la literatura científica, sabemos que la condición para flujo incompresible es que la derivada particular de la densidad del fluido $\rho$ i $$ \frac{D\rho}{Dt}=0$$

y para flujos estacionarios la condición es que la derivada parcial con respecto al tiempo sea cero $\left(\dfrac{\partial \rho}{\partial t}=0\right)$ .

Sin embargo, la definición de la derivada particular es: $$\frac{D \rho}{Dt} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \left(\vec{v} \cdot \vec\nabla\right) \rho $$

La pregunta es: si un flujo es incompresible, ¿significa eso que el flujo es necesariamente estacionario? ¿Puede haber un flujo inestable e incompresible?

Answer 1

Sí, puede haberlo. Pero, lo que sabemos es que en un flujo incompresible (como usted lo ha definido), la densidad es siempre constante, lo cual es obvio porque estamos definiendo la densidad para que no cambie.

Sólo has enumerado la ecuación de conservación de la masa, pero recuerda que hay 2 más: la de conservación del momento y la de conservación de la energía. La incompresibilidad no hace nada para eliminar las derivadas temporales de estas ecuaciones. Sin embargo, desacopla la ecuación de la energía del resto del sistema y te animo a que estudies toda la derivación y las implicaciones del sistema completo.

Como nota final, y esto es ser un poco pedante, pero la incompresibilidad realmente significa eso:

$$\frac{\partial \rho}{\partial p} \approx 0 $$

y no que la densidad sea constante. Es totalmente posible (y habitual) resolver las ecuaciones "incompresibles" en las que la densidad varía debido a flujos multiespecíficos (piense en el helio y el aire, o en la mezcla de agua salada y agua dulce) o debido a gradientes térmicos (el aire caliente es menos denso que el frío). Lo que has definido es densidad constante flujo, que es más restrictivo que incompresible . Los términos se utilizan indistintamente, pero me molesta lo suficiente como para señalarlo. La combustión a baja velocidad y muchos flujos atmosféricos dependen de esta distinción.

Answer 2

https://en.wikipedia.org/wiki/Incompressible_flow

Sí, un flujo puede ser incompresible (más bien isocórico) e inestable.

Sin embargo, el término no permanente en la ecuación de Conservación de Masa es cancelado por el término de advección sin importar si el flujo es incompresible o compresible.

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CASO 1: Cualquier material fluido que experimenta un flujo incompresible

SUPONGAMOS:

-No se mezclan varios fluidos, etc.

-Flujo inestable

ANÁLISIS:

1) Forma integral de conservación de la masa (todo el volumen de control) (ver wiki):

• D(masa)/Dt = 0 = D/Dt[integral de la densidad sobre el volumen de control].

2) Ignorar la integral sobre el volumen de control

3) => Forma diferencial de la conservación de la masa (volumen de control diferencial)

• \=> D/Dt[densidad] = 0;

  Ahora es cuando las propiedades del material del fluido entran en el álgebra/calculo

4) Aplicar la derivada total a la densidad suponiendo que es función del espacio y del tiempo; no de la presión.

• Aunque si asumiera que la presión es una variable, el término generado sería cero debido a las restricciones de flujo que son independientes de la propiedad del material del fluido (véase el caso 2), es decir, la derivada parcial de la densidad respecto a la presión es cero.

• Además, si cualquier término es independientemente cero aquí entonces también son cero en la forma diferencial de Conservación de Masa

5) Convertir la derivada total en derivada material (el volumen de control diferencial sigue al elemento fluido diferencial).

6) Establecer la conservación de la masa (forma diferencial) igual a la ecuación de 5)

7) => la divergencia de la velocidad del flujo es nula

RESULTADOS:

• el flujo inestable tendrá su término inestable "equilibrado" por el término de advección (producto punto del gradiente de densidad con el controlar la velocidad del volumen ) para conseguir flujo incompresible (flujo isocórico).

• Lo que implica que la densidad tiene que ser no uniforme sobre ese volumen de control, es decir. la densidad es función del espacio y del tiempo

• Porque flujo es incompresible: la densidad no debe ser función de la presión

  • a pesar de que el fluido sea compresible (por ejemplo, el aire)
  • de lo contrario, habría que reducir a cero el término generado a partir de la derivada total (véase 4)

• Reiterando: los términos no estacionarios y de advección en realidad se reducen a cero en la conservación de la masa también se podría pensar que se equilibran (suman cero) según Wiki (aunque no estoy de acuerdo) A pesar de la in/compresibilidad y a pesar de que el flujo sea inestable y no uniforme

  • Esto no dice nada sobre la D/Dt(densidad) (aunque es cero) por lo que los términos no estacionario y de advección seguirían siendo nulos; ya que esos términos se cancelarían con ellos mismos después de igualando la derivada total (coincidente con el volumen de control) al derivado material

      - But that would say nothing about the in/compressibility of the flow 
    
       - nor the in/compressibility of the fluid material

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CASO 2 Un fluido compresible que experimenta un flujo compresible

ASUMIR

• No se mezclan varios fluidos, etc.

• La densidad sería una función de espacio, tiempo y presión .

ANÁLISIS

• Mismo análisis que el anterior, excepto .......

• Aplicando la derivada total a la función de densidad verás un término adicional (no visto en wiki)

• De nuevo, los términos no uniformes e inestables serán nulos.

• el producto de la densidad y la divergencia de la velocidad de flujo será igual a este término generado debido a la dependencia de la densidad con la presión para la situación de flujo compresible

RESULTADOS

-Haciendo un poco de álgebra se obtiene la fórmula de la compresibilidad (beta) rho = densidad, P = presiones normales

beta = 1/rho *(drho/dP)

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está muy bien porque conecta muy bien con la mecánica de materiales

• Reconocer que la divergencia de la velocidad de flujo es sólo la velocidad de deformación normal

-Si suponemos que la velocidad del flujo no es función del tiempo (constante) y aplicamos un poco más de álgebra, cálculo y la ley de Hook, podemos obtener el módulo de volumen (K) (inverso de la compresibilidad) a partir de la mecánica de materiales:

K = -E/(3*(1-2nu) que será igual al lado de la compresibilidad invertida K = 1/beta = rho*dP/drho

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Answer 3

$\frac{D}{Dt}(\cdot)$ da el cambio de propiedad de un $\textit{specific}$ partícula fluida. En particular, $\frac{D\rho}{Dt}$ evaluado en $(x,y,z,t)$ da el cambio de densidad de la partícula de fluido situada en la posición $(x,y,z)$ a la vez $t$ . Por lo tanto $\frac{D\rho}{Dt}=0$ en todas partes significa que en cualquier punto espacial y en cualquier momento, la densidad de la partícula de fluido permanece constante. Sin embargo, esto no significa que la densidad en sí sea constante con el tiempo o con el espacio.

Permítanme ilustrarlo. Consideremos dos fluidos inmiscibles de densidades diferentes en un recipiente, digamos aceite sobre agua en un recipiente ancho. Ahora se agita el recipiente durante algún tiempo y se deja. Los dos líquidos se agitarán un poco y habrá ondas (o una actividad más complicada) en la interfase. Si ahora colocas una sonda de densidad cerca de la interfase, unas veces registrará la densidad del agua y otras la del aceite. Así que $\frac{\partial \rho}{\partial t}\neq0$ . Además, es evidente que la densidad no es constante en el espacio. Sin embargo, $\frac{D\rho}{Dt}=0$ en todas partes de este flujo, porque cada partícula de fluido conserva su densidad. Por lo tanto $\frac{D\rho}{Dt}=0$ no implica que el flujo sea constante.

También como sugiere @tpg2114 flujo incompresible significa estrictamente $\frac{\partial \rho}{\partial p}=0$ .