Yo estoy estudiando la expresión $a \cdot \sin(x) =\sin(a \cdot x)$ $a$ Dónde está una constante racional. ¿Hay una manera de determinar que valores de $x$ sería válidas? ¿Sólo tiene verdadera para ciertos valores de $a$?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Matthew Scouten
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Si $a$ no es $0$, $1$ o $-1$, $\sin(ax)/\sin(x)$ no es una constante función de meromorphic, así que habrá en la mayoría de un conjunto discreto de soluciones para $x$. Si $a = m/n$ $m$ $n$ relativamente primer enteros, escrito $x = nt$ desea solucionar $f(t) = n \sin(mt) - m \sin(nt) = 0$. Este es periódica con período de $2 \pi$, y es $0$ en múltiplos de $\pi$. La pregunta interesante es si hay otras soluciones reales. Parece que no siempre están a menos $m$ o $n$$1$.
WLOG asumen $1 < m < n$. Tenga en cuenta que $f(k\pi/n) = n \sin(km\pi/n)$ enteros $k$. Los puntos de $x_k = k m\pi/n$ $k = 0, 1, \ldots, n$ están separados por una distancia de $< \pi$, y desde $x_{n} - x_0 = m \pi \ge 2\pi$ debe haber al menos un $x_j$ en el intervalo de $(\pi, 2 \pi)$ donde $\sin(x_j) < 0$, es decir, $f(x_j/m) < 0$ y al menos un $x_k$ en el intervalo de $(0, \pi)$ donde $\sin(x_k) > 0$, es decir,$f(x_k/m) > 0$. Por el Teorema del Valor Intermedio, entre el $x_k/m$ $x_j/m$ hay algo de $x$$f(x) = 0$.
Joe Gauterin
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No una respuesta, sino una observación.
Si $(a,x)$ es una solución para la ecuación: $$a \sin(x) = \sin(ax)$$
entonces para qué$(\pm a,\pm x)$$(\pm a^{-1}, \pm ax)$. Ignorando el caso trivial $a = 0$ o $\pm 1$$x = 0$, podemos concentrarnos en el caso de que $a > 1$$x > 0$. Podemos reescribir la ecuación como:
$$\frac{\sin x}{x} = \frac{\sin(ax)}{ax}\quad\quad\text{(assume a > 1)}\tag{*1}$$
Ploting $\frac{\sin x}{x}$ vs $x$, uno inmediatamente se ve que $(*1)$ no tiene solución para $|x| <$ $x_c \sim 2.777068336$ . $x_c$ es una raíz de la ecuación:
$$\frac{\sin x}{x} = \frac{1}{\sqrt{1+\beta^2}} \sim 0.128374554$$ donde $\beta \sim 7.725251837$ sí es una raíz de otro ecuación de $\tan \beta = \beta$.
Actualización
Para $a > 0$, racional, expresar $a$ como fracción $\frac{m}{n}$ en su nivel más bajo plazo. Deje $x = n \theta$$d = \max(m,n)$. Podemos reescribir la ecuación una vez más, como:
$$\begin{align} & a \sin(x) = \sin(a x)\\ \iff & m \sin(n\theta) - n \sin(m\theta) = 0\\ \iff & \left(m U_{n-1}(\cos\theta) - n U_{m-1}(\cos\theta)\right)\sin\theta = 0 \end{align}$$ donde $U_k(t)$ es el de Chebyshev del polinomio de la $2^{nd}$ tipo. Además de la trivial soluciones:
$$\sin\theta = 0 \iff x = 0, \pm n\pi, \pm 2n\pi, \ldots$$
$ \cos\theta $ va a ser una raíz de un polinomio de grado $d-1$: $G_{m,n}(t) = m U_{n-1}(t) - n U_{m-1}(t)$.
Aviso $U_k(1) = k+1$, $U_k(-1) = (-1)^k(k+1)$ y, en general,$U_k(-x) = (-1)^kU_k(x)$. Vemos
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al $m$ $n$ tienen la misma paridad, es decir, ambos son impares.
- $G_{m,n}(1) = G_{m,n}(-1) = 0$
- $G_{m,n}(t) = (t^2-1) P_{m,n}(t^2)$ para algunos polinomio $P_{m,n}(\cdot)$ grado $\frac{d-3}{2}$.
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Al $m$ $n$ tienen distinta paridad, es decir, uno de ellos es impar, el otro es incluso.
- $G_{m,n}(1) = 0$
- $G_{m,n}(t) = (t-1) Q_{m,n}(t)$ para algunos polinomio $Q_{m,n}(\cdot)$ grado $d-2$.
Esto significa que cuando
$$m, n \le \begin{cases}6,& m \not\equiv n \pmod{2}\\11,& m \equiv n \pmod{2}\end{cases}$$
La raíz de $ \cos\theta $ $G_{m,n}(t)$ puede ser expresada en términos de los radicales.
El ejemplo más sencillo es $\frac{m}{n} = \frac23$, tenemos:
$$\begin{align} &Q_{2,3}(t) = 8 t + 2 \\ \implies & \cos\theta = t = -\frac14\\ \implies & x = n\theta \stackrel{\text{can be}}{=} \pm3\cos^{-1}(-\frac14) + 6K\pi,\text{ where } K \in \mathbb{Z} \end{align}$$
Otro de los ejemplos es $\frac{m}{n} = \frac35$, tenemos:
$$\begin{align} &P_{3,5}(t) = 48 t - 8 \\ \implies & \cos\theta = \sqrt{t} = \pm\frac{1}{\sqrt{6}}\\ \implies & x = n\theta \stackrel{\text{can be}}{=} \pm 5\cos^{-1}(\pm\frac{1}{\sqrt{6}}) + 10K\pi,\text{ where } K \in \mathbb{Z}\\ \iff & x = n\theta \stackrel{\text{can be}}{=} \pm 5\cos^{-1}(\frac{1}{\sqrt{6}}) + 5K'\pi,\text{ where } K' \in \mathbb{Z} \end{align}$$
Otras soluciones no triviales para los pequeños $m,n$ se puede derivar de manera similar.
rama-jka toti
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alian
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No habrá ninguna soluciones explícitas en general 'a' ser Real excepto ésas soluciones especiales en la respuesta anterior. Es necesario resolver la ecuación numérica de precisión arbitraria para x dado 'a' usando una computadora o a mano si te gusta el método de Newton. Puesto que el seno es periódico se encontrará que tiene infinitamente muchas soluciones.
Susan L Smith
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6
No se pretende realmente responder a la pregunta, pero creo que es apropiado añadir como respuesta.
Una trama implícita de los valores de $a$ y $x$ que satisfacen la relación dada se muestran a continuación. Claramente, existen soluciones para valores de $a$ racional, pero es probable que una solución de forma cerrada para $x$ % arbitrario $a$, dado las respuestas anteriores a esta pregunta difícil.
