La obra derivada es $\bf F\cdot v .$ $$P(t)= \frac{\mathrm dW}{\mathrm dt}= \mathbf{F\cdot v}=-\frac{\mathrm dU}{\mathrm dt}\;.$$
Pero, ¿por qué no $$\frac{\mathrm{d}\mathbf{F}}{\mathrm{d}t}\cdot \mathbf x + \mathbf{F\cdot v}\;?$$
Respuestas
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Syed Abrar Hussain Shah
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Esto se debe a que $P(t)$ es la potencia instantánea en función del tiempo y $W =\mathbf F\Delta \mathbf x$ sólo es válida para fuerzas constantes. En términos más generales, recordemos que una definición de trabajo es la integral:
$$W = \int_C\mathbf F(x)\mathrm d\mathbf x$$
Dónde $C = C(x,t)$ es alguna curva en el espacio/tiempo. Expresando en términos de tiempo da:
$$W = \int_t\mathbf F(t)\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\mathrm dt = \int_t\mathbf F(t)\mathbf v(t)\mathrm dt$$
Del Teorema Fundamental del Cálculo, tenemos:
$$P \equiv \frac{\mathrm dW}{\mathrm dt}= \mathbf F(t)\mathbf v(t)\;.$$
Disculpas por la notación descuidada, pero esa es la idea.
Para que una fuerza realice trabajo, debe actuar sobre un objeto a medida que éste se desplaza cierta distancia (con una componente a lo largo o en oposición a la dirección de dicha fuerza). Mantener un objeto inmóvil, pero soportando la intensidad de una fuerza dada, no añade más trabajo realizado. Por ello, decimos que
$$W=\int_C\vec{F}\cdot d\vec{r}$$
donde C es la curva en el espacio a lo largo de la cual se mueve el objeto. Si la potencia es la tasa de cambio del trabajo, entonces esperaríamos que se aplicara una regla del producto en la derivada, pero no se gasta potencia por una fuerza que no hace trabajo, y sin desplazamiento, no hay trabajo ni potencia.
