Sobre la construcción inductiva de los tiempos de parada

Question

Supongamos que $T_0 = \inf \{ t \ge 0 : X_t \in J\}$ es un tiempo de parada.

Entonces me gustaría mostrar que para $m=0,1,2,\dots$ , $$T_{m+1} = \inf \{t > T_m: X_t \in J\}$$ es un tiempo de parada.

Para ello, creo que funciona el siguiente argumento. Supongamos que $T_m$ es un tiempo de parada. Entonces, $$\{T_{m+1} \le t\}=\bigcup_{s\in \mathbb{Q}} \bigg(\{T_m < s<t\} \cap \{X_s \in J\} \bigg)$$ de y puesto que cada conjunto en la unión del RHS está en $\mathscr{F}_t$ también lo es el LHS. QED.

Creo que debe haber algunas suposiciones adicionales sobre las vías de $X$ (por ejemplo, derecha o izquierda continua o ambas) y en los conjuntos $J$ (por ejemplo, cerrado o abierto).

¿Es correcto? Además, ¿cómo podemos mostrar esto si $$T_{m+1} = \inf \{t \ge T_m: X_t \in J\}?$$

Answer 1

Creo que en su caso no necesita más suposiciones, pero en general sí las necesita, porque su suposición de que $T_0$ es un tiempo de parada ya es bastante fuerte.

Supongamos que $J$ está abierto. Supongamos que $X$ es incluso continua. Si $T_{m+1}=t>T_{m}$ tienes eso para todos $s \leq t$ (btw. Creo que tendrías que ajustar un poco tu unión de arriba para que $s$ puede ser $t$ ) que $X_s \notin J$ . Por lo tanto, LHS no es igual a RHS.

Este es un ejemplo en el que se puede ver que se necesitan supuestos adicionales. Pero aún hay más, sobre todo porque el tiempo de parada siempre depende fuertemente de la filtración y es mucho más fácil si su filtración es continua correcta. Para ello véase "Brownian Motion and Stochastic Calculus, Karatzas and Shreve,1991" página 7 o el capítulo 1.2.

Pero en su caso, creo que mi argumento anterior llevaría a la contradicción de que $T_0$ no se detiene el tiempo, yo diría intuitivamente, que, en realidad, todo es correcto lo que hiciste y no se necesitan más suposiciones. Si algo es un tiempo de parada, cuando sucede la primera vez, ¿por qué no también si sucede la n-ésima vez? Si tu filtración no es completamente antinatural, como constante en algún momento...

Para la última pregunta, a mí me parece que $T_0=T_m$ para todos $m$ a primera vista.

Espero que te haya ayudado,

Saludos