Sobre puntos reticulares "muy dentro" de polígonos reticulares convexos

Question

Sea $\mathcal{P}$ sea un polígono lattice convexo con $n$ vértices y que $\mathcal{L}$ es el conjunto de todos los puntos de la red dentro de $\mathcal{P}$ . Para cada $n \geq 5$ ¿existe un punto en $\mathcal{L}$ tal que también se encuentra en el polígono convexo delimitado por (todas) las diagonales de $\mathcal{P}$ ? ¿Cuántos puntos de este tipo hay? (//Con diagonales me refiero, por supuesto, a las líneas distintas de las líneas laterales del polígono que unen dos vértices de $\mathcal{P}$ .)

Hace tiempo demostré que para $n=5$ hay un punto en $\mathcal{L}$ . También me las arreglé para mostrar esto ahora para $n \geq 6$ utilizando un argumento similar, aunque se complicó más y todavía tengo que comprobar posibles fallos. ¿Alguna idea para el caso general?

Answer 1

Para $n=5$ Esto ha sido demostrado por Eppstein:
D. Eppstein, Happy endings for flip graphs, Journal of Computational Geometry 1 (2010), no. 1, 3--28.

Para impar $n>5$ se podría considerar el polígono delimitado por las diagonales más largas.
Puede definirse como la intersección de los semiplanos que contienen $(n+1)/2$ vértices de $P$ .
Para $n=9$ Esta intersección puede estar vacía (por ejemplo, si los nueve vértices forman tres triángulos y cada uno de los triángulos está situado muy cerca de un vértice de un triángulo regular).
Para $n=7$ esta intersección no es vacía. Sin embargo, puede estar libre de puntos de red: tomemos, por ejemplo, el polígono $P$ con vértices $[0,1], [1,0], [2,0], [3,2], [3,3], [1,3], [0,2]$ .