Un número de seis cifras se forma aleatoriamente utilizando cifras $\{1,2,3\}$ con repeticiones. Elija la(s) opción(es) correcta(s):

Question

Un número de seis cifras se forma aleatoriamente utilizando cifras $\{1,2,3\}$ con repeticiones. Elija la(s) opción(es) correcta(s):

• A) La probabilidad de que todos los dígitos se utilicen al menos una vez es $\dfrac{20}{27}$
• B) Probabilidad de que el dígito $1$ se utiliza impar número de veces y $2$ se utiliza un número par de veces es $\dfrac{1-3^{-6}}4$
• C) La probabilidad de que se utilicen todos los dígitos así como impar dígitos se utilicen impar número de veces y dígito par se utilice número de veces par es $\dfrac{3^6-2^7+1}{4\cdot3^6}$

Total de casos = $3^6$

• A) Todos los dígitos utilizados al menos una vez = Total de casos $-$ Casos en los que no se utiliza un dígito

¿O sería

Todos los dígitos utilizados al menos una vez = Total de casos $-$ Casos en los que no se utiliza un dígito $-$ Casos en los que no se utilizan dos dígitos

En cualquier caso, no estoy recibiendo $\frac{20}{27}$

• B) $1$ puede utilizarse $1$ o $3$ o $5$ veces. $2$ puede utilizarse $0$ o $2$ o $4$ veces.

Entonces, casos favorables= $^6C_1(^5C_0+^5C_2+^5C_4)+^6C_3(^3C_0+^3C_2)+^6C_5=182$ y coincide con la respuesta.

Pero la respuesta dada en la opción es de formato diferente $\dfrac{3^6-1}{4\cdot3^6}$ . Parece que están subtactando $1$ del total de casos y buceo por $4$ para conseguir el caso favorable. ¿Por qué?

• C) $1$ puede utilizarse $1$ o $3$ o $5$ veces. $2$ puede utilizarse $2$ o $4$ veces.

Entonces, casos favorables= $^6C_1(^5C_2+^5C_4)+^6C_3(^3C_2)+^6C_5=156$

Pero según la opción, casos favorables= $150.5$ . Además, parece que están restando $2^7-1$ del total de casos y, a continuación, bucear por $4$ ¿Cuál podría ser la motivación para ello, incluso si es incorrecta?

Answer 1

Por primera , es la aplicación del Principio de Inclusión Exclusión o simplemente podemos trabajar de la siguiente manera -

Recuento total de $6$ números de dígitos $ = 3^6$

Recuento de números en los que falta una de las cifras $ = 3 \cdot (2^6 - 2)$

Recuento de números en los que faltan dos cifras $ = 3$

Así que la respuesta para $(a)$ es $ = \dfrac{3^6 - 3 \cdot 2^6 + 3}{3^6} = \dfrac{20}{27}$

Para el segundo Tu funcionamiento es correcto pero otra forma de resolverlo sería,

Recuento de $6$ números de dígitos donde $1$ aparece impar número de veces y $2$ aparece un número par de veces,

$ \displaystyle {6 \choose 1}\frac{2^5}{2} + {6 \choose 3}\frac{2^3}{2} + {6 \choose 5} = 182$

Explicación: Tomemos el primer término donde $1$ ocurre una vez. Elegimos un lugar para ello de $6$ dígitos. Resto $5$ Los dígitos se componen de $2$ y $3$ . En la mitad de los números, $2$ se producirá un número par de veces $(0, 2, 4$ veces) y en la otra mitad ocurrirá impar número de veces $(1, 3, 5$ veces). Del mismo modo, otros términos.

Ahora dado primero y segundo son correctos. Debe ser la tercera la incorrecta. Ahora observa que la tercera es un subconjunto de la segunda. En la segunda, como $1$ se produce impar número de veces, $2$ ocurre un número par de veces y así $3$ se produce impar número de veces. Pero en la tercera, tenemos que restar los casos de la segunda donde $2$ faltaba (ocurría cero veces). ¿Puedes cogerlo desde aquí?

Answer 2

+1 a tu respuesta, por mostrar tu trabajo. Estoy de acuerdo en que tu análisis de la Parte B es correcto. Mi análisis es:

Parte A
Utilice Inclusión-Exclusión .

$\displaystyle \frac{N\text{(umerator)}}{D\text{(enominator)}},~$ con $\displaystyle D = \frac{1}{3^6}.$

$\displaystyle N = 3^6 - \left[\binom{3}{1}2^6\right] + \left[\binom{3}{2}1^6\right] = 729 - 192 + 3 = 540.$

$\displaystyle \frac{540}{729} = \frac{20}{27}$
Por lo tanto, la respuesta dada para la parte (A) es correcta.

---

Parte B
Otra vez, $\displaystyle D = 3^6.$

$\displaystyle N = \sum_{k=1}^6 f(k),~$ como se describe a continuación:

$f(1) : (1)$ "1", $(0)$ 2's : $\binom{6}{1} = 6.$
$f(2) : (1)$ "1", $(2)$ 2's : $\binom{6}{1}\binom{5}{2} = 60.$
$f(3) : (1)$ "1", $(4)$ 2's : $\binom{6}{1}\binom{5}{4} = 30.$
$f(4) : (3)$ "1"'s, $(0)$ 2's : $\binom{6}{3}\ = 20.$
$f(5) : (3)$ "1"'s, $(2)$ 2's : $\binom{6}{3}\binom{3}{2} = 60.$
$f(6) : (5)$ "1"'s, $(0)$ 2's : $\binom{6}{5} = 6.$

$\displaystyle N = 182.$

$\displaystyle \frac{1 - (1/729)}{4} = \frac{728}{4 \times 729} = \frac{182}{729}.$

Por lo tanto, la respuesta dada para la parte (B) también es correcta.

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Parte C
Otra vez, $\displaystyle D = 3^6.$

$\displaystyle N = \sum_{k=1}^3 f(k),~$ como se describe a continuación:

$f(1) : (1)$ "1", $(1)$ "3", $(4)$ 2's : $\binom{6}{1}\binom{5}{1} = 30.$
$f(2) : (1)$ "1", $(3)$ "3"'s, $(2)$ 2's : $\binom{6}{3}\binom{3}{2} = 60.$
$f(3) : (3)$ "1's", $(1)$ "3", $(2)$ 2's : $\binom{6}{3}\binom{3}{2} = 60.$

$\displaystyle N = 150.$

$\displaystyle \frac{3^6 - 2^7 + 1}{4 \times 3^6} = \frac{602}{4 \times 729} \neq \frac{150}{729}.$

Por lo tanto, la respuesta dada para la parte (C) es incorrecta.

Obsérvese que si la respuesta dada para la parte (C) hubiera sido
$\displaystyle \frac{3^6 - 2^7 - 1}{4 \times 3^6}$ entonces la respuesta habría sido correcta.

Answer 3

A partir de las respuestas de @MathLover y @user2661923, se me ocurrió la idea de intentar enfocar la solución de forma que coincidiera con el formato de las opciones. Así que aquí está mi solución:

Para la parte B), si $1$ es venir impar número de veces, sería $50\%$ del total de casos. Y $2$ vendría un número par de veces en $50\%$ de esos casos. Así que, en general $25\%$ del total de casos. Pero aquí también hemos incluido un caso en el que $2$ ha venido seis veces, y la probabilidad de ese caso es $\dfrac1{3^6}$ . Esto hay que restarlo, es decir $1-3^{-6}$ . Ahora, tomando su $25\%$ obtenemos $\dfrac{1-3^{-6}}4$ que es el formato de la opción.

De aquí hay que restar los casos en los que $2$ había llegado cero veces, es decir, en esos casos, sólo $1$ y $3$ podría llenarse. Pero sólo consideraríamos aquellos casos en los que $1$ había llegado impar número de veces, porque esos son los casos que estamos tratando aquí. Por lo tanto, los casos = $\dfrac{2^6}2$ . Probabilidad= $\dfrac{2^6}{2\cdot3^6}$ .

Por lo tanto, la probabilidad requerida para la parte C) $$=\dfrac{1-3^{-6}}4-\dfrac{2^6}{2\cdot3^6}\\=\frac{3^6-1}{4\cdot3^6}-\frac{2^7}{4\cdot3^6}\\=\frac{3^6-2^7-1}{4\cdot3^6}$$

Answer 4

He visto tu pregunta ahora y quiero darte otro enfoque. En mi solución , voy a utilizar funciones generadoras exponenciales.

$\color{red}{a-)}$ Se dice que todos los dígitos deben utilizarse al menos una vez, por lo que mi función generadora exponencial será $(e^x-1)^3 , [x^6]$ . Como ves , es una expresión binómica , así que puedo expandirla como $e^{3x} -3e^{2x}+3e^x-1$ . Entonces, podemos escribirlo como $3^r -3\times 2^r +3 \times 1^r$ donde $r=6$

$\color{green}{b-)}$ Se dice que el dígito $1$ se utiliza impar número de veces y $2$ se utiliza un número par de veces . Entonces , debemos sus formas exponenciales , de modo que

Exponencial para $1=x + \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}$

Exponencial para $2=x^0 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} +\frac{x^6}{720}$

Exponencial para $3=x^0 + x+ \frac{x^2}{2} +\frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24}+ \frac{x^5}{120} +\frac{x^6}{720}$

Entonces , buscamos el coeficiente del término $[x^6]$ en el producto de las fucciones generadoras exponenciales tales que : https://www.wolframalpha.com/input/?i=expanded+form+of+%281%2B+x+%2B+x%5E2%2F2+%2B+x%5E3%2F6+%2B+x%5E4%2F24+%2B+x%5E5%2F120+%2Bx%5E6%2F720%29%28x+%2B+2x%5E3+%2F3+%2B+2x%5E5+%2F15%29

Hemos visto que su coeficiente es $91/360$ Sin embargo, al no estar en forma de $x^n / n!$ debemos multiplicar el coeficiente por $6!$ . Por lo tanto , $720 \times \frac{91}{360} = 182$

$\color{blue}{c-)}$ Se dice que todos los dígitos se utilizan así como impar dígitos se utilizan impar número de veces y dígito par se utiliza incluso número de veces .

Exponencial para $1=x + \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}$

Exponencial para $2= \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} +\frac{x^6}{720}$ restamos $x^0 $ porque se dice que cada dígito se utiliza al menos una vez.

Exponencial para $3= x +\frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}$

Entonces , buscamos el coeficiente del término $[x^6]$ en el producto de las fucciones generadoras exponenciales tales que : https://www.wolframalpha.com/input/?i=expanded+form+of+%28x+%2B+x%5E3+%2F6%2B+x%5E5+%2F120%29%28x+%2B+x%5E3+%2F6%2B+x%5E5+%2F120%29%28x%5E2+%2F2+%2Bx%5E4+%2F24+%2B+x%5E6+%2F+720%29

Hemos visto que su coeficiente es $5/24$ Sin embargo, al no estar en forma de $x^n / n!$ debemos multiplicar el coeficiente por $6!$ . Por lo tanto , $720 \times \frac{5}{24} = 150$

Creo que las funciones generadoras exponeneciales son las mejores para este tipo de preguntas. Espero que te ayude