Desigualdad geométrica relativa a un tetraedro

Question

Circunradio de un tetraedro $ABCD$ es $R$ y las longitudes de los segmentos que unen los vértices $A,B,C,D$ con los centroides de las caras opuestas son iguales a $m_a,m_b,m_c$ y $m_d$ respectivamente. Demostrar que:

$m_a+m_b+m_c+m_d\leq \dfrac{16}{3}R$

Answer 1

Sea $\vec{x}_a, \vec{x}_b, \vec{x}_c, \vec{x}_d$ sean los vértices de $ABCD$ .

WOLOG, suponemos $|\vec{x}_a| = |\vec{x}_b| = |\vec{x}_c| = |\vec{x}_d| = R$ . es decir, la circunsfera de $ABCD$ es la esfera centrada en el origen con radio $R$ .

Sea $\vec{p} = \frac14 ( \vec{x}_a + \vec{x}_b + \vec{x}_c + \vec{x}_d )$ sea el centro de masa de $ABCD$ . Longitud como $m_a$ es la distancia entre $\vec{x}_a$ y $\frac13 ( \vec{x}_b + \vec{x}_c + \vec{x}_d )$ y por lo tanto $$m_a = |\vec{x}_a - \frac13 ( \vec{x}_b + \vec{x}_c + \vec{x}_d )| = \frac43 | \vec{x}_a - \vec{p}|$$ Del mismo modo, tenemos $m_b = \frac43 |\vec{x}_b - \vec{p}|$ , $m_c = \frac43 |\vec{x}_c - \vec{p}|$ y $m_d = \frac43 |\vec{x}_d - \vec{p}|$ . Como resultado,

$$m_a + m_b + m_c + m_d = \frac43 \left(|\vec{x}_a - \vec{p}| + |\vec{x}_b - \vec{p}| + |\vec{x}_c - \vec{p}| + |\vec{x}_a - \vec{p}| \right)$$ Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, $$\left(|\vec{x}_a - \vec{p}| + |\vec{x}_b - \vec{p}| + |\vec{x}_c - \vec{p}| + |\vec{x}_a - \vec{p}| \right)^2 \le 4 \left(|\vec{x}_a - \vec{p}|^2 + |\vec{x}_b - \vec{p}|^2 + |\vec{x}_c - \vec{p}|^2 + |\vec{x}_a - \vec{p}|^2\right)$$ Por cálculo de dirección,

$$\begin{align} &|\vec{x}_a - \vec{p}|^2 + |\vec{x}_b - \vec{p}|^2 + |\vec{x}_c - \vec{p}|^2 + |\vec{x}_a - \vec{p}|^2\\ = & |\vec{x}_a|^2 + |\vec{x}_b|^2 + |\vec{x}_c|^2 + |\vec{x}_d|^2 - 4 |\vec{p}|^2\\ \le & 4 R^2 \end{align}$$ Como resultado, obtenemos $$m_a + m_b + m_c + m_d \le \frac43 \sqrt{4 \times 4R^2} = \frac{16}{3} R$$ .