¿Por qué las acciones en anillo son mucho más difíciles de encontrar que las acciones en grupo?

Question

Admito libremente que la siguiente pregunta es un poco una expedición de pesca inspirada por esta encantadora "definición" de un módulo como se encuentra en Wikipedia :

Un módulo es una acción de anillo sobre un grupo abeliano.

El principiante tardará un poco en descomprimir esta definición en la lista habitual de identidades, pero para alguien con un conocimiento básico de las acciones (de grupo) que necesite una taquigrafía rápida para recordar lo que implica ser un módulo, parece difícil superar esta definición.

Ahora bien, se han escrito volúmenes sobre las acciones de grupo. Esto tiene sentido, porque la teoría de conjuntos es la base de las matemáticas modernas y para cualquier conjunto $X$ los automorfismos $\operatorname{Aut}(X)$ tienen naturalmente una estructura de grupo. Y, por supuesto, un grupo $G$ actuando sobre $X$ no es más que un homomorfismo de grupo $G \to \operatorname{Aut}X$ .

Por otra parte, aparte de esta definición de módulo, es difícil encontrar una teoría general de las acciones de anillo. Para encontrar acciones interesantes de un anillo $R$ se necesita análogamente el conjunto de endomorfismos $\operatorname{End}X$ tenga la estructura de un anillo, de modo que se puedan buscar morfismos de anillo $R \to \operatorname{End}X$ .

Cuáles son los objetos más generales $O$ para lo cual $\operatorname{End}O$ tiene canónicamente la estructura de un anillo?

Desde luego, $O$ al menos contiene grupos abelianos, pero ¿hay algo más?

Answer 1

En primer lugar, no estoy muy seguro de lo que quiere decir con "es difícil encontrar una teoría general de las acciones de los anillos". Esto es precisamente teoría de módulos Si $f : R \to S$ es cualquier homomorfismo de anillo, entonces la composición con el mapa natural $S \to \text{End}(S)$ (donde $S$ se considera un grupo abeliano y $S$ actúa sobre este grupo abeliano por multiplicación por la izquierda; esto demuestra el "teorema de Cayley para anillos") da como resultado $S$ la estructura de una izquierda $R$ -módulo.

De todos modos, los objetos que buscas son los objetos en categorías tales que los Hom-sets tienen canónicamente la estructura de un grupo abeliano. Estas son las categorías enriquecido en $(\text{Ab}, \otimes)$ o $\text{Ab}$ -categorías enriquecidas. Como dice Will Sawin, un nombre más tradicional es categoría preaditiva, pero no me gusta este nombre porque no creo que deba recordar la distinción entre categorías preaditivas, aditivas y abelianas para referirme a algo tan fundamental como $\text{Ab}$ -enriquecimiento.

$\text{Ab}$ -Las categorías enriquecidas son abundantes. De hecho, cualquier categoría ordinaria $C$ tiene un $\text{Ab}$ -categoría enriquecida $\mathbb{Z}[C]$ equipado con el functor universal de $C$ a un $\text{Ab}$ -categoría enriquecida. Este functor $\mathbb{Z}[-]$ es adjunto por la izquierda al functor olvidadizo de $\text{Ab}$ -a categorías ordinarias y pueden describirse explícitamente tomando grupos abelianos libres en hom-conjuntos. Esto es una ligera generalización del punto que Scott Carnahan hace en los comentarios, ya que este functor es monoidal, por lo que envía monoides a sus álgebras monoidales y envía acciones monoidales a acciones de anillo.

En términos más generales $V$ ser cualquier categoría monoidal . Entonces se puede definir $V$ -categorías enriquecidas, y una $V$ -con un objeto (más precisamente el monoide de endomorfismos de tal categoría) es precisamente un objeto monoide en $V$ y así se obtienen varias generalizaciones de monoides y anillos. Por ejemplo:

• A $\text{Set}$ -con un objeto es un monoide.
• A $\text{Top}$ -con un objeto es un monoide topológico.
• En $\text{Ab}$ -con un objeto es un anillo.
• A $\text{Vect}$ -con un objeto es un álgebra (unital, asociativa).
• A $\text{Ban}$ -con un objeto es un álgebra de Banach (unital).
• A $\text{Ch}$ -con un objeto es una dg-álgebra.

Y así sucesivamente. (Tenga en cuenta que $V$ no tiene por qué ser $V$ -enriquecido; creo que esta condición es equivalente a $V$ en monoidal cerrado ). También es posible dar una definición uniforme de lo que significa para un $V$ -monoide $A$ actuar sobre un elemento $M$ de $V$ en términos de mapa $A \otimes M \to M$ que satisfacen los axiomas habituales (esto evita la necesidad de $V$ ser $V$ -enriquecido) que reproduce la noción de acción de un monoide, módulo de un anillo, representación de un álgebra, etc.

Del mismo modo que es fructífero generalizar los grupos a groupoides permitiendo múltiples objetos, uno puede generalizar los monoides a monoidoides (es decir, ¡categorías!) en cualquiera de las configuraciones anteriores permitiendo múltiples objetos. Desde esta perspectiva, un $\text{Ab}$ -categoría enriquecida es sólo una ringoid un anillo con muchos objetos

Pensar de este modo hace que ciertos aspectos de la teoría de los anillos parezcan más naturales, creo. Por ejemplo, para ciertas bonitas $V$ existe una noción de Finalización de Cauchy de un $V$ -categoría enriquecida $C$ generalizando tanto la noción de Sobre Karoubi y la noción de terminación de Cauchy de un espacio métrico. La terminación de Cauchy de un $\text{Ab}$ -se obtiene adhiriendo formalmente biproductos finitos y dividiendo los idempotentes. Ahora:

La terminación de Cauchy de un anillo $R$ (como $\text{Ab}$ -enriquecida) es la categoría de proyectivas derechas finitamente generadas $R$ -módulos.

Este resultado ofrece un enfoque muy conceptual de Equivalencia de Morita resulta que dos anillos son equivalentes Morita sólo si sus terminaciones de Cauchy son equivalentes.

Answer 2

$\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}$ Un ejemplo de una clase de anillos en la que las acciones de anillo son muy parecidas a las acciones de grupo son las álgebras de Hopf. Como consecuencia, muchos teoremas de la teoría de la representación de grupos se generalizan a la teoría de la representación de las álgebras de Hopf.

Para dar una idea de cómo las definiciones de las acciones de grupo se generalizan a las álgebras de Hopf, consideremos un grupo $G$ y $kG$ -Módulos $M,N$ ( $k$ un anillo conmutativo). Entonces tenemos los invariantes $M^G := \lbrace m \in M\mid \forall g \in G:\;gm=m\rbrace$ y $G$ también actúa sobre $\Hom_k(M,N)$ vía
$(g\cdot f)(m) := gf(g^{-1}m)$ . Entonces el $G$ -pueden recuperarse como invariantes mediante $\Hom_{kG}(M,N) = \Hom_k(M,N)^G$ .

Ahora dejemos que $H$ sea un álgebra de Hopf sobre $k$ (corresponde a $kG$ ) con antípoda $S: H \to H$ (corresponde a $g \mapsto g^{-1}$ ), aumento $\epsilon: H \to k$ (corresponde a $g \mapsto 1$ ) y el coproducto $\Delta: H \to H \otimes_k H$ (corresponde a $g \mapsto g \otimes g$ ). Entonces se define para $H$ -módulos $M,N$ : $$M^H := \lbrace m \in M\mid \forall h \in H: \;hm=\epsilon(h)m\rbrace$$ y si $\Delta(h)=\sum_i h_i^{(1)} \otimes h_i^{(2)}$ entonces $H$ actúa sobre $\Hom_k(M,N)$ por $$(h\cdot f)(m):= \sum_i h_i^{(1)}f\big(S(h_i^{(2)})m\big).$$ Ahora, como era de esperar, la identidad $\Hom_H(M,N)=\Hom_k(M,N)^H$ aguanta de nuevo.

Answer 3

Categorías preaditivas son probablemente el contexto más general. Tienen anillos de endomorfismos, ya que se pueden tanto sumar como multiplicar morfismos. La mayoría de los ejemplos de categorías preaditivas son categorías abelianas, como grupos abelianos, módulos sobre un anillo, representaciones de un grupo, tramas de grupos abelianos sobre un sitio, etc. Algunas no lo son, como la categoría de grupos topológicos abelianos.