Condiciones necesarias para $f$ si $\int|\hat{f}(\xi)|^2+\frac1{|\xi|}|\hat{f}(\xi)|^2d\xi<\infty.$

Question

Sea $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $\int|f|<\infty$ . Considere la transformada de Fourier $$\hat{f}(\xi)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int e^{-i\xi > x}f(x)dx.$$ Establezca las condiciones necesarias para $f$ i $$\int|\hat{f}(\xi)|^2+\frac1{|\xi|}|\hat{f}(\xi)|^2d\xi<\infty.$$

Ideas : Esto implica que $\int_{\mathbb{R}}|\hat{f}(\xi)|^2<\infty$ y como la transformada de Fourier es una transformación unitaria, $\int |f|^2<\infty$ también. (Técnicamente es una transformación unitaria en el espacio de Schwarz, pero creo que sigue siendo unitaria considerada en cualquier lugar en el que se defina). Tengo un poco más de problemas con la segunda parte. Sé que la multiplicación por $\frac1{|\xi|}$ debería corresponder a la integración de alguna manera...

Answer 1

Así que quiere saber cuándo $|\xi|^{-1/2} \hat f(\xi) \in L^2$ . Ahora la transformada de Fourier convierte la multiplicación en convolución, y la transformada de Fourier de $|\xi|^{-1/2}$ es $C|x|^{-1/2}$ para alguna constante $C>0$ . Así que su condición es equivalente a $f \in L^2$ y

$$\int \left|\int \frac{f(x-y)\,dy}{|y|^{1/2}}\right|^2 \, dx < \infty .\tag1$$

Sin embargo, si $f \in L^2$ entonces $$\int \left|\int_{|y|<1} \frac{f(x-y)\,dy}{|y|^{1/2}}\right|^2 \, dx < \infty .$$ porque $I_{|x|<1} |x|^{-1/2}$ está en $L^1$ y la convolución toma $L^2\times L^1 \to L^2$ .

Por tanto, (1) es equivalente a $$\int \left|\int_{|y|>1} \frac{f(x-y)\,dy}{|y|^{1/2}}\right|^2 \, dx < \infty .$$

Probablemente se podría trabajar más para simplificar esto aún más, pero ahora mismo no se me ocurre qué podría ser.