Argumento negado de la función escalón de Heaviside

Question

Si $H(x)$ es la función escalón de Heaviside, lo que es $H(-x)$ ? ¿Es $-H(x)$ o hace $$H(-x) = \left\{\begin{array}{ll} 1 & x < 0 \\ 1/2 & x = 0 \\ 0 & x > 0 \end{array}\right. \hspace{5ex}?$$

Answer 1

Si utilizamos la convención $$H(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ 1/2 & x = 0 \\ 1 & x > 0 \end{cases}$$ es fácil deducir que $$H(-x) = 1-H(x),$$ que es equivalente a tu segunda suposición. Observe que $H(x)$ no es una función impar.

Anexo : En términos del soporte Iverson, $$ [P] = \begin{cases} 1, & \textrm{If }P\textrm{ is true} \\ 0, & \textrm{otherwise}, \end{cases}$$ la función escalón de Heaviside es $$H(x) = [x>0]+\frac{1}{2}[x=0].$$ Existen diferentes convenciones para $H(0)$ . Aquí elegimos $H(0) = 1/2$ . Las propiedades del corchete de Iverson que explotaremos aquí son $[\neg P] = 1-[P]$ y $[x<a]+[x=a] = [x\leq a]$ . Encontramos $$\begin{align} H(-x) &= [-x>0] + \frac{1}{2}[-x=0] \\ &= [x<0] + \frac{1}{2}[x=0] \\ &= [x\leq 0] - \frac{1}{2}[x=0] \\ &= [\neg(x>0)] - \frac{1}{2}[x=0] \\ &= 1-[x>0] - \frac{1}{2}[x=0] \\ &= 1-H(x). \end{align}$$