Probabilidad continua; hallar la función de densidad de probabilidad

Question

Sea $X$ y $Y$ sean variables aleatorias y que $Z = \frac{(X+Y)}{2}$ . Supongamos que eliges al azar dos números $X,Y \in [1,3]$ . Hallar la función de densidad de probabilidad de $Z$ y el valor esperado $E(Z)$ .

¿Alguien tiene alguna pista para solucionar este problema?

Answer 1

1. La función de densidad de probabilidad se determina por convolución: $$\begin{align} f_Z(z) & = \int_\Bbb R f_X(x)f_Y(2z-x)\operatorname d x \\[1ex] & = \tfrac 1 4\int_\Bbb R \mathbf 1_{x\in[1;3]}\mathbf 1_{2z-x\in[1;3]}\operatorname d x \\[1ex] & = \mathbf 1_{z\in[1;3]}\int_\Bbb R \mathbf 1_{x\in\big[\max(1,\underline{\quad});\min(3,\underline{\quad})\big]}\operatorname d x \\[1ex] & = (\underline{\qquad})\mathbf 1_{z\in[1;\underline{\quad})}+ (\underline{\qquad})\mathbf 1_{z\in[\underline{\quad};3]} \end{align}$$

2. La expectativa es la integral $\mathsf E(Z) = \int_\Bbb R z\,f_Z(z)\operatorname d z \\ = \int_1^{\Box} z(\underline{\qquad})\operatorname d z+\int_{\Box}^3 z(\underline{\qquad})\operatorname d z \\ = \underline{\qquad}$

Rellene los espacios en blanco

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NB: $\mathbf 1_{\cdots}$ es una función indicadora: $\mathbf 1_{x\in A} \mathop{:=} \begin{cases} 1 & : x\in A \\ 0 : \textsf{otherwise}\end{cases}$

Answer 2

CONSEJOS

1. Así que $Z$ es la media de 2 uniformes sobre $[1,3]$ . ¿Cuál es el rango posible de $Z$ , digamos $[a,b]$ ?
2. Arreglar algunos pequeños $z \in [a,b]$ . Para calcular $$F_Z(z) = \mathbb{P}[Z \le z] = \mathbb{P}[X+Y \le 2z],$$ condicionar esto al valor de $X$ digamos.
3. Claramente, $Z$ es una v.r. continua, por lo que la pdf viene dada por $$f_Z(z) = F'_Z(z).$$
4. Compute $$\mathbb{E}[Z] = \int_a^b z f_Z(z) dz$$