Extremos locales de polinomios no constantes

Question

F $$p(x)=a_0 + a_1x + a_2x^2+\dots +a_nx^n,\quad\text{with $ a_0=0 $, $ x\in \mathbb{R} $},$$ ¿hay alguna prueba de que todos los extremos locales se encuentren siempre entre dos raíces de $p(x)=0$ ?

Estuve trasteando con algunas visualizaciones e intenté probarlo usando derivadas pero no pude resolverlo. La búsqueda en Internet tampoco me ayudó. Gracias por vuestra ayuda.

Answer 1

Eso no es cierto. Por ejemplo $$p(x)=6\int_0^x (t-1)(t-2)dt=2x^3-9x^2+12x$$ Tiene extremos locales en $1$ y en $2$ pero $p$ sólo tiene una raíz, es decir $0$ .

Sin embargo, al Teorema de Gauss-Lucas para cualquier polinomio no constante $p$ todos los ceros de a $p'$ (la derivada es cero en los extremos locales) pertenecen al casco convexo en el plano complejo del conjunto de ceros complejos de $p$ .