Ampliación del teorema de los "círculos que se besan" de Descartes

Question

Teorema del "círculo del beso" de Descartes relaciona los radios, $r_1$ , $r_2$ , $r_3$ , $r_4$ de cuatro círculos mutuamente tangentes: $$( k_1 + k_2 + k_3 + k_4 )^2 = 2 ( k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 + k_4^2 ) \qquad\text{where } k_i := \pm\frac{1}{r_i}$$ con el " $\pm$ "signo que indica interno o externo tangencia del círculo correspondiente.

Supongamos que, dadas tres circunferencias mutuamente tangentes, determinamos la cuarta circunferencia besante externa, y luego queremos averiguar el radio de una 5ª circunferencia que toque a la 4ª y a dos circunferencias cualesquiera de las tres circunferencias originales. ¿Cómo averiguamos el radio de esta 5ª circunferencia?

Answer 1

Quizá le interese consultar este documento y las referencias que en él se dan:

http://www.math.washington.edu/~julia/teaching/445_Spring2013/DescartesAndTheApollonianGasket%20%281%29.pdf

Answer 2

Si los círculos de radio $r_1$ , $r_2$ , $r_3$ , $r_4$ son mutuamente tangentes, y también círculos de radio (digamos) $r_2$ , $r_3$ , $r_4$ , $r_5$ entonces tenemos

$$\begin{align} \left( k_1 + k_2 + k_3 + k_4 \right)^2 &= 2 \left( k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 + k_4^2 \right) \\ \left( k_2 + k_3 + k_4 + k_5 \right)^2 &= 2 \left( k_2^2 + k_3^2 + k_4^2 + k_5^2 \right) \end{align}$$ con $k_i = \pm 1/r_i$ como desee.

Si necesitas el radio del cuarto círculo, entonces, por supuesto, puedes resolver las ecuaciones por etapas: obtén $k_4$ de la primera, y usarla en la segunda para obtener $k_5$ .

Si realmente no te importa el cuarto radio, podemos eliminar $k_4$ de las ecuaciones. (Por ejemplo, resta una de la otra para deshacerte del $k_4^2$ y resolver para $k_4$ en la ecuación lineal resultante. A continuación, sustitúyala por $k_4$ en cualquiera de las ecuaciones originales). Suponiendo que $k_3 \neq k_5$ llegamos a esta relación: $$16 k_1^2 + 16 k_2^2 + k_3^2 + k_5^2 + 16 k_1 k_2 - 8 k_1 k_3 - 8 k_1 k_5 - 8 k_2 k_3 - 8 k_2 k_5 - 2 k_3 k_5 = 0$$ Así, $$k_5 = 4 k_1 + 4 k_2 + k_3 \pm 4 \sqrt{k_1 k_2 + k_2 k_3 +k_3 k_1}$$