¿Existe una versión diferenciable pero no suave del Teorema de la Función Implícita continua?

Question

A partir del resultado expuesto en ¿Se cumple el teorema de la función inversa para mapas diferenciables en todas partes? (que llamaré el Teorema de la Función Inversa diferenciable no lisa) se puede obtener una versión diferenciable pero no lisa del Teorema de la Función Implícita mediante el argumento habitual.

Hay dos cuestiones interesantes, estrechamente relacionadas entre sí, que aparentemente siguen pendientes:

1. ¿Existe una versión correspondiente del Teorema de la Función Implícita continua que no requiera diferenciabilidad continua en las variables que se resuelven?

2. En la prueba inductiva original del Teorema de la Función Implícita, la diferenciabilidad continua era necesaria para asegurar una cadena decreciente de menores localmente no evanescentes para el determinante jacobiano. ¿Existe siempre tal cadena si se supone diferenciabilidad simple con jacobiano distinto de cero?

Una respuesta positiva a 2 da una respuesta positiva a 1 y una demostración inductiva del Teorema de la Función Inversa diferenciable no lisa.

Para una descripción más cuidadosa de estos problemas, véase la exposición del Teorema de la Función Implícita en mi manuscrito de análisis real en mi sitio web http://wolfweb.unr.edu/homepage/bruceb/ .

Answer 1

Si no recuerdo mal, la diferenciabilidad estricta en un punto $x_0$ (y, por supuesto, la invertibilidad de $df(x_0)$ ) es suficiente para que se cumpla el teorema de la función implícita. Esto significa algo como $$ df(x_0)(h) = lim_{t\to 0, x\to x_0}\frac1t f(x+th). $$ Estoy de viaje y ahora no tengo acceso a los libros. Esto es en:

• MR0724435 Ver Eecke, Paul Fundamentos del cálculo diferencial. (Francés) [Foundations of differential calculus] Mathématiques. [Presses Universitaires de France, París, 1983. 345 pp. ISBN: 2-13-038180-4 (Revisor: William Eames) 26-01 (46G05 58-01 58C20)

• MR0817719 (87e:58001) Ver Eecke, Paul(F-PCRD) Aplicaciones del cálculo diferencial. (Francés) [Aplicaciones del cálculo diferencial]. Mathematics. [Presses Universitaires de France, París, 1985. 397 pp. ISBN: 2-13-038961-9 58-01 (26E15)