Si $a^2 + b^2 + c^2 + 21= 2\cdot (a + 2b + 4c)$ con $a,b,c\in\mathbb{R}$ ¿cuál es el valor de $abc$ ?

Question

Así que, así es como va. Estoy totalmente fascinado en la solución de algunos libros peruanos que compré (sólo por diversión) y me he tambaleado en este problema, descrito en el título.

Si utilizo el hecho de que $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ac)$ me hace ir a ninguna parte, ya que no hay manera de correlacionar $(a + 2b + 4c)$ con el término de doble letra entre paréntesis.

Me he quedado sin pistas. ¿Alguien quiere ayudar?

Answer 1

Pista:

Puedes reescribir tu ecuación de la siguiente manera $$(a^2-2a) + (b^2-4b) +(c^2-8c) = -21$$

¿Notas algo familiar entre paréntesis?

Answer 2

Así que $a^2 + b^2 +C^2 +1 +4 + 16 - 2a -4b -8c = 0 $ por lo tanto tenemos $ (a-1)^2 + (b-2)^2 + (c-4)^2 = 0$ Algunos de los números no negativos suma es cero, por lo que todos ellos son cero, por lo tanto: $a=1$ , $b=2$ y $c=4$ . Por lo tanto $abc=8$ .