Una pregunta sobre el forzamiento iterado

Question

Estoy intentando entender mejor el forzamiento iterado y me he encontrado con el siguiente problema:

0) Sea $P_\alpha$ sean posets en una c.t.m. $M$ , $\alpha<\beta$ y para cada $\alpha$ deje $G_\alpha$ sea $P_\alpha$ genérico. Sea $P$ sea la iteración de soporte finito de la $P_\alpha$ . Entonces, ¿existe necesariamente un $G$ que es $P$ -genérico tal que para todo $\alpha$ , $G_\alpha\in M[G]$ ?

Mi suposición sobre cómo hacerlo sería la inducción transfinita, pero me encuentro con algunos problemas cuando lo intento. En concreto, el paso sucesor tiene sentido, pero el paso límite y el caso base $(\beta=2)$ no lo hagas.

[Por si sirve de algo, he aquí el paso sucesor. Supongamos que la respuesta a (0) es "sí" para todo $\beta<\delta$ , $\delta\ge 2$ . Sea $P_\alpha$ sean posets para $\alpha<\delta+1$ , dejemos que $G_\alpha$ sea $P_\alpha$ -genérico, let $P$ sea su iteración de soporte finito, y sea $P'$ sea la iteración de soporte finito de la $P_\alpha$ para $\alpha<\delta$ . Entonces $P$ es equivalente (de hecho, isomorfo) a $P'\times P_\delta$ . Por la hipótesis de inducción, tenemos unas $G'$ que es $P'$ -genérico tal que para todo $\alpha<\delta$ , $G_\alpha\in M[G']$ . Aplicando de nuevo la hipótesis de inducción (ya que $\delta>1$ ) tenemos $G$ que es $P'\times P_\delta$ -genérica tal que $G', G_\delta\in M[G]$ . Pero entonces $M[G']\subseteq M[G]$ Así que $G_\alpha\in M[G]$ para todos $\alpha<\delta$ .]

Preguntas relacionadas:

1) ¿Qué ocurre si restringimos a posets c.c.c.?

2) ¿Qué ocurre si especificamos $\beta=2$ ?

3) ¿Qué ocurre si intentamos generalizar a otros tipos de soportes?

Tengo la sensación de que me estoy perdiendo algo obvio, pero he pensado en esto durante un tiempo sin éxito.

Answer 1

No estoy seguro de entender bien la pregunta, por la mezcla de iteración y producto, pero creo que la siguiente respuesta negativa es independiente de tales cuestiones porque utiliza $\beta=2$ y toma ambos factores (o iterandos) como forzamiento Cohen (por lo que el forzamiento del producto equivale a la iteración). Recordemos que un real (considerado, como es habitual en estos contextos, como un elemento de $2^\omega$ ) es genérico de Cohen sobre $M$ si y sólo si pertenece a cada denso $G_\delta$ conjunto codificado en $M$ . Desde $M$ es contable, el conjunto de los reales genéricos de Cohen sobre $M$ es comeager. Ahora elige algo real $z$ que codifica un buen ordenamiento de $\omega$ más largo que la altura de $M$ . Puesto que ambos $\{x\in 2^\omega:x\text{ Cohen over }M\}$ y su traducción $\{x\in 2^\omega:x\oplus z\text{ Cohen over }M\}$ (donde $\oplus$ es la suma puntual mod 2) son comeager, tienen un elemento $x$ en común. Visite $G_0$ para ser el filtro genérico de codificación $x$ y tomar $G_1$ para ser el filtro genérico de codificación $x\oplus z$ . No hay extensión genérica de $M$ (por $P_0\times P_1$ o por cualquier otro forzamiento) puede contener ambos $G_\alpha$ 's. [Prueba: Tal modelo contendría tanto $x$ y $x\oplus z$ y, por tanto, contendría $z$ . Siendo un modelo de ZF, tendría que contener el ordinal isomorfo a la ordenación de $\omega$ codificado por $z$ . Pero los ordinales de una extensión forzosa de $M$ son los mismos que los de $M$ por lo que contradice la elección de $z$ .]

Answer 2

Estás escribiendo $\times$ en la penúltima línea de tu prueba del paso sucesor. ¿Eres consciente del hecho de que el forzado iterado general es más complicado que tomar el producto? (Aunque hay casos, como el forzamiento de Cohen, en los que la iteración es lo mismo que el producto).

Permítanme hablar de la iteración en dos pasos por el momento. El problema es que normalmente, la segunda noción de forzamiento $P_1$ no está en su modelo de suelo $M$ . Por ejemplo, aunque ambos $P_0$ y $P_1$ se supone que están forzando con, digamos, subconjuntos cerrados de la recta real sin puntos aislados (conjuntos perfectos) ordenados por inclusión, el segundo forzamiento no es forzamiento con conjuntos perfectos en $M$ pero con conjuntos perfectos en $M[G_0]$ donde $G_0$ es $P_0$ -generic over $M$ . Así que, en general, sólo tiene un $P_0$ -nombre $\dot P_1$ para el segundo forzado y necesitas cocinar una iteración $P_0*\dot P_1$ que no es sólo un producto ( $\dot P_1$ ni siquiera es una orden parcial en este momento).

Supongamos ahora que $P$ es una noción forzosa en $M$ y $\dot Q$ es un $P$ -nombre para una noción de forzamiento (el nombre está en $M$ ). Argumentamos en $M$ . Como primera aproximación, $P*\dot Q$ consiste en todos los pares $(p,\dot q)$ donde $p\in P$ , $\dot q$ es un $P$ -nombre y $p\Vdash\dot q\in\dot Q$ .
Esto se ordena dejando que $(p_0,\dot q_0)\leq(p_1,\dot q_1)$ si $p_0\leq p_1$ y $p_0\Vdash\dot q_0\leq\dot q_1$ .

El problema de esta definición es que $P*\dot Q$ ahora es una clase propiamente dicha y no un conjunto.
Tienes que restringir los nombres $\dot q$ que se permiten a algún conjunto adecuado, ya sea algún $V_\alpha$ para un $\alpha$ o a aquellos $\dot q$ que aparecen como primeras coordenadas en el nombre (para el conjunto subyacente del orden parcial con el nombre) $\dot Q$ .

Ahora bien, si $G$ es $P$ -generic over $M$ y $H$ es $\dot Q_G$ -generic over $M[G]$ , puede definir un filtro $F\subseteq P*\dot Q$ como sigue:

$F=G*H=\{(p,\dot q)\in P*\dot Q:p\in G\wedge\dot q_G\in H\}$

Este filtro resulta ser $P*\dot Q$ -generic over $M$ y $G$ y $H$ puede recuperarse de ella. Esto también resuelve la cuestión de las iteraciones de longitud finita y los pasos sucesores.

Ahora. Para iteraciones de longitud límite existe el problema de que no podemos demostrar (al menos yo no puedo demostrar) que dada una secuencia de filtros que son genéricos entre sí existe un modelo transitivo más pequeño de ZFC que contiene la secuencia.
Por eso, para iteraciones infinitas se definen iteraciones de nociones de forzamiento en lugar de límites de secuencias de modelos.

Dada una iteración de forzar nociones de longitud $\delta$ de un genérico $G$ para la iteración podemos recuperar filtros genéricos $G_\alpha$ , $\alpha<\delta$ para cada paso de la iteración, pero no cada secuencia $(G_\alpha:\alpha<\delta)$ de genéricos da lugar a un filtro genérico para la iteración.
Por ejemplo, las secuencias genéricas $(G_\alpha)_{\alpha<\delta}$ obtenidas mediante una iteración de soporte finito parecen diferentes de las secuencias genéricas obtenidas mediante una iteración de soporte contable de las mismas nociones de forzamiento.

Espero que esto aclare las cosas. También recomiendo echar un vistazo al libro de Kunen Set Theory, An Introduction to Independence Proofs. También tengo una pregunta de seguimiento aquí .

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Después de ver tu comentario, he añadido esto: Lo que digo arriba también se aplica a la situación en la que los posets están en el modelo.
Si los posets son $P$ y $Q$ están en $M$ , $G$ es $P$ -generic over $M$ y $H$ es $Q$ genérico sobre $M[G]$ entonces $G\times H$ (con la definición habitual) es $P\times Q$ -generic over $M$ . (Iteración $*$ es sólo $\times$ en este caso). En el caso de iteraciones de longitud infinita creo que sigue siendo cierto que de una secuencia de genéricos no siempre se puede obtener un único genérico.

¿Cómo vemos que $G\times H$ es $P\times Q$ -generic over $M$ ? Sea $D\in M$ sea un subconjunto denso de $P\times Q$ . Sea $D_G=\{t:\exists s\in G((s,t)\in D)\}$ . Afirmo que esto es denso en $Q$ . Sea $q\in Q$ . Por densidad de $D$ , $D_q=\{s:(s,t)\in D\wedge t\leq q\}$ es denso en $P$ . Por lo tanto, existe $s\in G\cap D_q$ . Ahora para algunos $t\leq q$ , $(s,t)\in D$ .
Esto implica que la densidad de $D_G$ .
Por lo tanto, existe $t\in H\cap D_G$ . De ello se deduce que existe $s\in G$ con $(s,t)\in D$ . Así, $D\cap(G\times H)\not=\emptyset$ .