¿Cómo es el producto interior en $H^{-1/2}$ definido?

Question

Desde $H^{1/2}$ es un espacio de Hilbert, $H^{-1/2}$ debe ser también un espacio de Hilbert por el teorema del isomorfismo de la representación de Riesz. ¿Cómo se define allí el producto interior?

Sabemos que hay una buena Cauchy-Schwarz $\| f\cdot g\|_{L^2(\Gamma )}\leq \| f\|_{L^2(\Gamma )}\| g\|_{L^2(\Gamma )}$ . ¿Existe un equivalente en $H^{-1/2}$ ? Si $f,g\in L^2(\Gamma )$ ¿es cierto que $\| f\cdot g\|_{H^{-1/2}(\Gamma )}\leq \| f\|_{H^{-1/2}(\Gamma )}\| g\|_{H^{-1/2}(\Gamma )}$ ?

O es $\| f\cdot g\|_{H^{-1/2}(\Gamma )}\leq \| f^2\|_{H^{-1/2}(\Gamma )}\| g^2\|_{H^{-1/2}(\Gamma )}$ ¿lo mejor que podemos hacer?

Answer 1

Si he entendido bien tu primera pregunta, hay algunas formas de definir el producto interior en $H^{-1/2}$ . Por ejemplo, utilizando el teorema de Riesz, si indetificamos $F,G\in H^{-1/2}$ con $f,g\in H^{1/2}$ podemos definir el producto interior $(\cdot,\cdot)$ en $H^{-1/2}$ por $$(F,G)=((f,g))$$

donde $((\cdot,\cdot))$ es el producto interior en $H^{1/2}$ .

Otra forma es: definir en $H^{-1/2}$ la norma $$\|F\|_{H^{-1/2}}=\sup_{f\in H^{1/2},\ \|f\|_{H^{1/2}}=1}\langle F,f\rangle$$

Puede comprobar que $\|\cdot\|_{H^{-1/2}}$ satisface la ley del paralelogramo y, por tanto, es posible definir un producto interior con él (¿sabes cómo hacerlo?). Nótese que, si asumimos aquí el teorema de Riesz, tenemos la primera definición.

En cuanto a tu segunda pregunta, ten en cuenta en primer lugar que tu afirmación es errónea, como ha señalado @40votes. La afirmación correcta es: si $(\cdot,\cdot)$ denota el producto interior en $H^{-1/2}$ entonces para todos $f,g\in L^2$ tenemos que $$|(f,g)|\leq \|f\|_{H^{-1/2}}\|g\|_{H^{-1/2}}$$

Esto es cierto porque todo producto interno satisface la desigualdad de Cauchy-Schwarz y además $L^2\subset H^{-1/2}$ .