Subgrupos normales mínimos de cierre normal

Question

Esta pregunta surgió de mi intento de comprender la respuesta en esta entrada - los comentarios debajo de ella, para ser precisos. Todo gira en torno al siguiente problema:

Sea $S$ sea un subgrupo simple, no abeliano y subnormal de un grupo $G$ . Demuestre que $S^G$ el cierre normal de $S$ en $G$ es un subgrupo normal mínimo de $G$ .

La pregunta (del libro de Isaacs "Teoría de grupos finitos") viene con una pista. Dice:

SUGERENCIA: Trabajo por inducción en $|G|$ para concluir $S \subset \operatorname{Soc}(H)$ siempre que $S \subset H$ . Deduzca que cada conjugado de $S$ en $G$ es un subgrupo normal mínimo de $S^G$ . A continuación, aplique el problema anterior a $S^G$ .

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Me las arreglé para hacerlo todo, excepto para la parte en cursiva. Lo que hice fue (brevemente) lo siguiente:

1. $S \lhd \lhd G \implies S \lhd \lhd S^G$ . Si $S^G = G$ entonces $S = G$ lo que significa que el resultado es trivial. Por lo tanto, podemos suponer $S^G \neq G$
2. Utilizando la inducción, era sencillo demostrar $S \subset \operatorname{Soc}(H)$ si $H \neq G$ . En particular, $S \subset \operatorname{Soc}(S^G) \implies S^G = \operatorname{Soc}(S^G)$
3. Utilizando un problema anterior, $S^G$ es un producto directo de subgrupos normales mínimos (y de grupos simples)

En el citado post, el usuario @Stefan4024 afirmaba:

Desde $S \lhd \lhd S^G$ y $S^G$ es un producto de subgrupos normales mínimos, entonces $S$ es un subgrupo normal mínimo de $S^G$ (Tomé $K = S^G$ )

Simplemente no puedo ver por qué esto sigue tan inmediatamente.

Siguiendo con mi razonamiento anterior, he conseguido encontrar, por subnormalidad, un subgrupo normal $S \lhd \lhd K \lhd S^G$ (que no es abeliano) y esto dio como resultado, por Ejercicio $2A.6$ un subgrupo normal mínimo $X$ de $S^G$ tal que $X \subset K$ . Se deduce, tanto por simplicidad como por el hecho de que los subgrupos normales mínimos normalizan a todos los subgrupos subnormales, que o bien $S = X$ o $S \cap X = 1$ . Y no podía descartar este último caso...

¿Hay alguna forma más sencilla de demostrar la afirmación del último bloque citado? Si no, ¿cómo continúo con mis argumentos?

Gracias de antemano.

Answer 1

Los únicos subgrupos normales de un producto directo de grupos simples no abelianos son los productos directos de algunos de los factores directos. Por lo tanto, éstos son también los únicos subgrupos subnormales. Así que sus subgrupos subnormales son todos normales.

Desde $S$ es simple y subnormal en $S^G$ , $S$ debe ser uno de estos factores directos, por lo que es efectivamente un subgrupo normal mínimo de $S^G$ .