Definición de la función L adjunta a la representación automórfica

Question

Supongamos que $\pi$ es una representación automórfica irreducible de un grupo algebraico conexo reductor $G$ en $\mathbb{A}_K$ Aquí $K$ es un campo numérico, $\mathbb{A}_K$ denota sus adeles. Tenemos una descomposición restringida del producto tensorial de $\pi=\otimes\pi_v$ donde $\pi_v$ es una representación admisible irreducible para $G(K_v)$ y para todos menos finitamente muchos $v$ , $\pi_v$ no está ramificado.

Sabemos cómo definir los factores L locales en $v$ es $\pi_v$ es unramificado, y también sabemos cómo definir factores L locales en lugares arquimedianos gracias a la clasificación de Langlands. Así que la pregunta es ¿cómo definir los factores L en lugares ramificados?

Por lo que yo sé, al menos para $GL_n$ podemos definirla como el gcd de alguna familia de integrales a través de la representación integral de la función L.

Answer 1

Creo que estás ligeramente equivocado. $\pi$ no tiene un $L$ -función "in abstracta". Una función $\pi_v$ en un lugar finito $v$ da lugar, según la interpretación de Langlands del isomorfismo de Satake, a una clase de conjugación semisimple en el local $L$ -(o, más extravagantemente, a una representación no ramificada del grupo local de Weil[-Deligne] [con N=0]), y eso no es suficiente para un factor de Euler. Así que lo que se hace también es fija una representación $r:{}^LG\to GL_n(\mathbf{C})$ . Ahora uno tiene un $L$ -función $L(\pi,r,s)$ depende tanto de $\pi$ y $r$ sin embargo. Por ejemplo, si elegimos una curva elíptica modular sobre los racionales, pero dejamos que $r$ sea la potencia tensorial billonésima de la representación bidimensional estándar de $GL_2$ , usted tiene un $L$ -función que nadie sabe cómo continuar analíticamente.

Pero la verdadera respuesta a su pregunta es que se trata de un problema abierto. Uno quisiera decir que por functorialidad hay una representación $r_*(\pi)$ en $GL_n$ y se utilizan definiciones estándar de $L$ -funciones en $GL_n$ . Sin embargo, la existencia de $r_*(\pi)$ es un problema abierto fundamental: la functorialidad de Langlands. Definición de local $L$ -funciones en los lugares ramificados es una pequeñísima parte de este problema abierto, pero que yo sepa también está abierto.

Answer 2

Esta pregunta se publicó hace tiempo pero acabo de verla. He aquí algunas ideas. En la práctica hay un par de métodos para construir funciones L para representaciones ramificadas locales. El primero es el método Langlands-Shahidi que funciona para "representaciones genéricas" de grupos cuasi-split y el segundo es el método de las representaciones integrales (método Rankin-Selberg, integral de Shimura y el método de duplicación, etc). Probablemente sea un poco penoso dar una descripción significativa de estas dos metodologías en un espacio tan limitado, así que en su lugar permítanme remitirles a un par de sitios donde pueden ver descripciones accesibles de los dos enfoques. Una buena referencia para los fundamentos del método Langlands-Shahidi es la hermosa monografía "Analytic properties of automorphic L functions" de Gelbart y Shahidi. La misma referencia contiene una buena introducción al método de las representaciones integrales. Dan Bump ha escrito dos artículos muy informativos sobre el método Rankin-Selberg. Las conferencias de Cogdell en el ICTP sobre el método Rankin-Selberg son preciosas. Otro buen libro es el de Cogdell, Kim y Murty sobre la AMS.

En la actualidad no existe un método Langlands-Shahidi para representaciones no genéricas. Lo que falta es un buen suministro de modelos únicos fáciles de usar, como el modelo de Whittaker en el entorno genérico. Sin embargo, en el caso de los grupos ortogonales, los recientes avances de Waldspurger y otros en las conjeturas Gross-Prasad permiten albergar la esperanza de que tal vez se pueda desarrollar un método de Langlands-Shahidi, aunque hay que superar serios obstáculos.

También la mayoría de las representaciones integrales conocidas por la humanidad están estrechamente ligadas a modelos únicos (Whittaker, Bessel, etc.). Sakellaridis tiene una teoría que "explica" (algunas) representaciones integrales en términos de subgrupos esféricos de grupos reductores.

Answer 3

Según tengo entendido, adjuntar un $L$ -a una representación automórfica adjunta a un grupo reductor general $G$ es una conjetura y sigue abierta.

La forma en que se fija $L$ -la función depende de una representación $r$ de ${^L}G$ y particionando el conjunto de representaciones irreducibles admisibles de $G(k_v)$ en $L$ -paquetes (que es conjetural en general y conocido en muy pocos casos). Suponiendo que se pueda definir $L$ -paquetes, el artículo de Borel y Tate en Corvalis explica cómo adjuntar $L$ -función a la misma. Pero aún así $L$ -la función depende de la representación elegida $r$ .

Si $\pi$ es una representación admisible irreducible de $G_A$ entonces $\pi= \otimes_v \pi_v$ donde $\pi_v$ es una representación admisible irreducible de $G(k_v)$ . Así que suponiendo que podamos particionar el conjunto de representaciones irreducibles admisibles de $G(k_v)$ en $L$ -paquetes, $\pi_v$ pertenece a $L$ -paquete $\Pi_{\phi_v}$ correspondiente a algún homomorfismo admisible $\phi_v$ del grupo Weil-Deligne a ${^L}G/k_v$ . La representación $r$ define una representación $r_v$ de ${^L}G/k_v$ .

Entonces el $L$ -función adjunta a $\pi$ y $r$ se define como: $L(s,\pi,r) = \prod_v L(s,\pi_v,r_v)$ , $L(s,\pi_v,r_v)=L(s, r_v \circ \phi_v)$

Ahora $r_v \circ \phi_v$ es una representación del grupo de Weil-Deligne, así que por el artículo de Tate en Corvalis, sabemos que local $L$ -factor.